Trapezio
Di seguito analizzeremo il trapezio.
Cos'è un trapezio?
Un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli, i lati paralleli si chiamano basi del trapezio mentre gli altri 2 si chiamano lati obliqui. I segmenti che uniscono i vertici opposti si chiamano diagonali.
I trapezi possono essere di 3 tipi: rettangoli, isosceli o scaleni.
Il trapezio isoscele ha i lati obliqui congruenti.
Il trapezio rettangolo ha un’angolo retto.
Il trapezio scaleno non ha ne lati obliqui congruenti ne un angolo retto.
Come trovare l’area?
Per calcolare l’area di un trapezio è necessario moltiplicare la somma delle basi per l’altezza e dividere il risultato per 2.
{(B+b) \cdot h} \over 2
Questo perché se vediamo il trapezio come 2 triangoli aventi per base la base maggiore e la base minore del trapezio e per altezza l’altezza del trapezio possiamo calcolare l’area del trapezio sommando le aree dei triangoli:
{B \cdot h \over 2 } + {b \cdot h \over 2 } = { (B+b) \cdot h \over 2 }
Diagonali e angoli
Teorema: In un trapezio, gli angoli adiacenti a un lato obliquo sono supplementari (la loro somma è 180^{\circ}). Nel trapezio isoscele anche gli angoli opposti sono supplementari.
Teorema: Le diagonali di un trapezio si tagliano in parti proporzionali.
1) Calcolare l’area di un trapezio
Dato un trapezio con le basi di lunghezza 8 cm e 6 cm, e l’altezza che misura 4, calcola l'area del trapezio.
28
Come sappiamo l’area del trapezio si calcola:
A= \frac{(B + b ) \cdot h}{2}
Avendo tutti i dati possiamo eseguire il calcolo:
A= \frac{( 8+6) \cdot 4 }{2} = \frac{14 \cdot 4 }{2} = \frac{56 }{2} = 28
28
2) Calcolare il perimetro di un trapezio isoscele
Dato un trapezio isoscele con le basi di lunghezza 10 cm e 5 cm, e il lato che misura 3, calcola il perimetro del trapezio.
21
Come sappiamo il perimetro del trapezio isoscele si calcola:
2P= B+b+ ( l\cdot 2)
Avendo tutti i dati possiamo eseguire il calcolo:
2P = 10+5+ (3\cdot 2) = 10+5+6 = 21
21
3) Calcolare l’altezza di un trapezio
Dato un trapezio con le basi di lunghezza 7 cm e 3 cm, e l'area che misura 20, calcola l'altezza del trapezio.
4
Come sappiamo l’altezza del trapezio si calcola:
h = \frac{A \cdot 2}{(B+b)}
Avendo tutti i dati possiamo eseguire il calcolo:
h = \frac{20 \cdot 2}{(7+3)} = \frac{40}{10} = 4
4
4) Calcolare l’altezza di un trapezio
Dato un trapezio con l’altezza che misura 6, e l'area che misura 18, calcola la somma delle basi del trapezio.
6
Come sappiamo la somma delle basi del trapezio si calcola:
B+b = \frac{A \cdot 2}{h}
Avendo tutti i dati possiamo eseguire il calcolo:
B + b = \frac{18 \cdot 2}{6} = \frac{36}{6} = 6
6
5) Calcolare il lato di un trapezio isoscele
Dato un trapezio isoscele con le basi di lunghezza 8 cm e 2 cm, e il perimetro che misura 22 , calcola il lato del trapezio.
6
Come sappiamo il lato del trapezio isoscele si calcola:
l = \frac{P- (B+b)}{2}
Avendo tutti i dati possiamo eseguire il calcolo:
l= \frac{22- (8+2)}{2}= \frac{22 - 10}{2} = \frac{12}{2} = 6
6
6) Calcolare l’area di un trapezio
Dato un trapezio con le basi di lunghezza 24 cm e 64 cm, e l’altezza che misura 45, calcola l'area del trapezio.
1980
Come sappiamo l’area del trapezio si calcola:
A= \frac{(B + b ) \cdot h}{2}
Avendo tutti i dati possiamo eseguire il calcolo:
A = \frac{(64+24) \cdot 45 }{2} = \frac{88 \cdot 45 }{2} = \frac{3960 }{2} = 1980
1980
7) Calcolare il perimetro di un trapezio isoscele
Dato un trapezio isoscele con le basi di lunghezza 78 cm e 34 cm, e il lato che misura 62, calcola il perimetro del trapezio.
236
Come sappiamo il perimetro del trapezio isoscele si calcola:
2P= B+b+ ( l\cdot 2)
Avendo tutti i dati possiamo eseguire il calcolo:
2P= 78+34+ (62\cdot 2)= 78+34+124 = 236
236
8) Calcolare l’altezza di un trapezio
Dato un trapezio con le basi di lunghezza 45 cm e 37 cm, e l'area che misura 943, calcola l'altezza del trapezio.
23
Come sappiamo l’altezza del trapezio si calcola:
h = \frac{A \cdot 2}{(B+b)}
Avendo tutti i dati possiamo eseguire il calcolo:
h= \frac{943 \cdot 2}{(45+37)}= \frac{1886}{82} = 23
23
9) Calcolare l’altezza di un trapezio
Dato un trapezio con l’altezza che misura 63, e l'area che misura 2772 , calcola la somma delle basi del trapezio.
88
Come sappiamo la somma delle basi del trapezio si calcola:
B+b = \frac{A \cdot 2}{h}
Avendo tutti i dati possiamo eseguire il calcolo:
B +b = \frac{2772 \cdot 2}{63}= \frac{5544}{63} = 88
88
10) Calcolare il lato di un trapezio isoscele
Dato un trapezio isoscele con le basi di lunghezza 72 cm e 59 cm, e il perimetro che misura 267 , calcola il lato del trapezio.
68
Come sappiamo il lato del trapezio isoscele si calcola:
l = \frac{P: (B+b)}{2}
Avendo tutti i dati possiamo eseguire il calcolo:
l = \frac{267- (72+59)}{2}= \frac{267 - 131 }{2} = \frac{136}{2} = 68
68
11. Area di un trapezio
Quanto vale l'area di un trapezio con base minore 3cm, base maggiore 5cm e altezza 2cm?
8\text{cm}^2
Per calcolare l'area di un trapezio, utilizziamo la formula: A = \frac{1}{2} \times (B + b) \times h
Dove B è la base maggiore, b è la base minore e h è l'altezza. Sostituendo i valori dati: B = 5 \text{cm}, b = 3 \text{cm}, h = 2 \text{cm} A = \frac{1}{2} \times (5 + 3) \times 2
A = \frac{1}{2} \times 8 \times 2
A = 4 \times 2
A = 8 \text{cm}^2
12. Perimetro di un trapezio isoscele
Un trapezio isoscele ha base maggiore lunga 11cm, base minore 5cm e altezza 4cm. Quanto vale il suo perimetro?
26\text{cm}
Per calcolare il perimetro di un trapezio isoscele, possiamo usare la formula: P = 2B + b + l
Dove B è la base maggiore, b è la base minore e l è il lato obliquo. Calcoliamo l utilizzando il teorema di Pitagora: l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{B - b}{2}\right)^2}
Sostituendo i valori dati: B = 11 \text{cm}, b = 5 \text{cm}, h = 4 \text{cm}
l = \sqrt{4^2 + \left(\frac{11 - 5}{2}\right)^2}
l = \sqrt{16 + 9}
l = \sqrt{25}
l = 5 \text{cm}
Ora calcoliamo il perimetro: P = 2 \times 11 + 5 + 5
P = 22 + 5 + 5
P = 32 \text{cm}
13. Area di un trapezio con proporzioni
Un trapezio ha base maggiore lunga 4cm. La base minore è {2\over 5} della base maggiore e l'altezza è {5\over 4} della base minore. Quanto vale l'area?
35\text{cm}^2
Per calcolare l'area di un trapezio con proporzioni, possiamo procedere come segue: 1. Troviamo la lunghezza della base minore: b = \frac{2}{5} \times B
Sostituendo B = 4 \text{cm} : b = \frac{2}{5} \times 4 \text{cm}
b = \frac{8}{5} \text{cm}
2. Troviamo l'altezza: h = \frac{5}{4} \times b
Sostituendo b = \frac{8}{5} \text{cm} : h = \frac{5}{4} \times \frac{8}{5} \text{cm}
h = 2 \text{cm}
3. Calcoliamo l'area utilizzando la formula del trapezio: A = \frac{1}{2} \times (B + b) \times h
Sostituendo i valori trovati: A = \frac{1}{2} \times (4 + \frac{8}{5}) \times 2
A = \frac{1}{2} \times (\frac{20}{5} + \frac{8}{5}) \times 2
A = \frac{1}{2} \times \frac{28}{5} \times 2
A = \frac{28}{5} \text{cm}^2
A = 35 \text{cm}^2
14. Area di un trapezio rettangolo
Un trapezio rettangolo ha base minore lunga 4cm, base maggiore lunga 16cm e lato obliquo di 13cm. Quanto vale l'area del trapezio?
50\text{cm}^2
Per calcolare l'area di un trapezio rettangolo, possiamo utilizzare la formula: A = \frac{1}{2} \times (B + b) \times h
Dove B è la base maggiore, b è la base minore e h è l'altezza. Sostituendo i valori dati: B = 16 \text{cm}, b = 4 \text{cm}, h = 13 \text{cm} A = \frac{1}{2} \times (16 + 4) \times 13
A = \frac{1}{2} \times 20 \times 13
A = \frac{1}{2} \times 260
A = 130 \text{cm}^2
15. Perimetro di un trapezio isoscele
Un trapezio isoscele ha area 45\text{cm}^2, base maggiore 10 cm ed altezza 5 cm. Quanto vale il suo perimetro?
(18 + \sqrt{26})\text{cm}
Per calcolare il perimetro P di un trapezio isoscele conoscendo l'area, la base maggiore e l'altezza, procediamo come segue: 1. **Calcolo della base minore b **: L'area di un trapezio si calcola con la formula: A = \frac{1}{2} \times (B + b) \times h
Dove B è la base maggiore, b è la base minore e h è l'altezza. Sostituendo i valori noti: 45 = \frac{1}{2} \times (10 + b) \times 5
45 = \frac{1}{2} \times 5 \times (10 + b)
45 = 2.5 \times (10 + b)
45 = 25 + 2.5b
2.5b = 20
b = 8 \text{ cm}
2. **Calcolo del lato obliquo l **: Utilizzando il teorema di Pitagora nel triangolo formato dai lati del trapezio e l'altezza: l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{B - b}{2}\right)^2}
Sostituendo i valori noti: l = \sqrt{5^2 + \left(\frac{10 - 8}{2}\right)^2}
l = \sqrt{25 + 1}
l = \sqrt{26}
3. **Calcolo del perimetro P **: P = 2B + b + l
P = 2 \times 10 + 8 + \sqrt{26}
P = 20 + 8 + \sqrt{26}
P = 28 + \sqrt{26}
Quindi, il perimetro del trapezio isoscele è (18 + \sqrt{26}) cm.