Di seguito analizzeremo le basi della teoria della misura.
Quando lo si impara può sembrare assurdo, ma non esistono misure certe. Non esiste alcun tavolo lungo tre metri e il tuo righello non indica un centimetro.
Quando infatti si passa dal mondo astratto al mondo reale, dobbiamo fare i conti con l'imprecisione.
Per quanto tu possa essere preciso, non avrai mai un tavolo lungo tre metri, perché sarà sempre un filino più lungo o più corto. Magari sarà 3,00001 m, ma non sarà mai esattamente 3 m perché basterebbe anche soltanto un atomo in più o un atomo in meno e la sua lunghezza varierebbe.
Allo stesso modo il tuo righello non segna 1 cm. Forse segna 1,01 cm, ma non esattamente un centimetro.
In quasi tutti gli esperimenti fisici bisogna essere accurati quando si effettuano le misurazioni perché altrimenti otterremmo risultati diversi da quelli effettivi, portandoci ad effettuare degli errori.
Esistono due tipi di errori che possiamo effettuare mentre stiamo misurando:
Gli errori casuali, dovuti ad uno sbaglio nella singola misurazione.
Gli errori sistematici, dovuti ad un difetto dello strumento di misura.
Quindi, se tenete il metro leggermente storto e al posto di 2 metri misurate che una porta è alta 2,02 metri, si tratta di un errore casuale, mentre se il vostro metro è stato fatto male e a due metri indica 2,10 metri, si tratta di un errore sistematico.
Gli errori casuali sono più facili da notare perché basta ripetere molte volte una misurazione (magari anche da più persone diverse) e vedere i risultati più comuni. Se una misura è molto diversa dalle altre, probabilmente si tratta di un errore casuale.
Gli errori sistematici, invece, sono più subdoli perché potresti usare uno stesso strumento più volte, ottenere lo stesso risultato e pensare che sia accurato, mentre in realtà potrebbe essere totalmente diverso dal valore reale. Un modo per limitare il loro danno è usare più strumenti diversi, ma in molti casi non è facile.
Quindi ogni misura viene con un incertezza.
Una volta effettuate molte misurazioni, si escludono quelle più lontane e si passa a cercare l'incertezza assoluta e il valore medio.
L'incertezza assoluta è la differenza tra il valore massimo che abbiamo misurato e il valore minimo il tutto diviso due e si indica come \delta_x (\delta è una lettera grecca che si legge "delta"):
\delta_x = {V_\text{max} - V_\text{min} \over 2}
Il valore medio x_m è la media tra il valore più alto e quello più basso:
x_m = {V_\text{max} + V_\text{min} \over 2}
Notiamo che il valore medio più l'incertezza assoulta è uguale al valore massimo:
x_m + \delta_x = {V_\text{max} + V_\text{min} \over 2} + {V_\text{max} - V_\text{min}\over 2 }= {2V_\text{max}\over 2} = V_\text{max}
Mentre il valore medio meno l'incertezza assoluta è uguale al valore minimo:
x_m - \delta_x = {V_\text{max} + V\text{min}\over 2} - {V_\text{max} - V_{\text{min} \over 2}}= {2V_\text{min}\over 2} = V_\text{min}.
Sappiamo che tutti i valori sono compresi tra il valore massimo e il valore minimo, cioè sono compresi tra x+ \delta_x e x - \delta_x.
Quindi io non so esattamente quanto vale quello che ho misurato, ma so che sarà compreso tra x+\delta_x e x-\delta_x.
Per indicare quindi la mia misurazione, uso la seguente notazione:
Sapendo che il mio valore sta tra il valore medio più l'incertezza assoluta e il valore medio meno l'incertezza assoluta, scrivo il risultato come x\pm \delta_x, cioè valore medio più o meno l'incertezza assoluta.
Vediamo un esempio:
Vogliamo misurare la lunghezza della cattedra di un professore. Ogni studente effettua tre misure. Raccogliete tutti i dati, escludete quei pochi che sono molto lontani da tutti gli altri ed ottenete come valore massimo 1,24 metri e come valore minimo 1,20 metri.
Quindi l'incertezza sarà uguale a:
\delta_x = {1,24 \text{m} - 1,20 \text{m} \over 2} = 0,02 m
Mentre il valore medio è:
x_m = {1,24 \text{m} + 1,20 \text{m} \over 2} = 1,22 m
Quindi sappiamo che la cattedra del prof sarà lunga (1,22 \pm 0,02) m (abbiamo messo le parentesi per indicare che la m di metri moltiplica sia il valore medio che l'incertezza, senza doverla riscrivere due volte).
Non sappiamo perciò quanto è effettivamente lunga, ma sappiamo in che intervallo si aggira la sua lunghezza. Con strumenti più precisi e molte più misurazioni si potrebbe ottenere un'incertezza assoluta molto più piccola, anche sull'ordine dei decimi di millimetro, ma rimarrebbe comunque, per quanto piccola, un'incertezza.
Ovviamente, più l'incertezza assoluta è piccola e più la misurazione è precisa, però non ci dice esattamente quanto è precisa. Per esempio, se si ha un'incertezza assoluta di 10 cm su un banco lungo circa 60cm vuol dire che la misurazione è poco precisa, ma avere un'incertezza di 10 cm sulla distanza da Roma a Firenze (che sono quasi 300 km) vuol dire avere una misurazione estremamente precisa.
Per indicare, dunque, quanto una misurazione è precisa, si usa un altro strumento molto utile: l'incertezza relativa.
L'incertezza relativa è definita come il rapport tra l'incertezza assoluta e il valore medio.
Normalmente si esprime in percentuale e più piccola è e più la misurazione è precisa.
Quindi nell'esempio di prima, anche se l'incertezza assoluta era la stessa, nel caso del banco avevamo un'incertezza relativa del 17%, mentre nel caso della distanza Roma-Firenze avevamo un'incertezza relativa dello 0,00000033%. Tutta un'altra storia.
Quando otteniamo un valore da una misurazione, spesso vogliamo inserirlo in altre formule per trovare altre grandezze fisiche. Come si fa, dunque, a fare operazioni con numeri che hanno incertezze?
Poniamo di voler calcolare la lunghezza di tavolo lungo che, ad'occhio, stimiamo essere lungo 8 metri, ma abbiamo a disposizione soltanto un metro che arriva a 4 metri.
Come fare?
Possiamo misurare la prima metà del tavolo facendo un segno circa a metà di esso, poi la seconda ed infine sommarle insieme per ottenere la lunghezza totale.
Nella prima misurazione ottenete (3,91 \pm 0,06) m e nella seconda ottenete (3,73 \pm 0,05) m.
Però come sommare due numeri che hanno un'incertezza?
Quello che vogliamo fare è trovare il valore medio e l'incertezza della somma.
Ricordiamoci che entrambi sono stati definiti a partire dal valore massimo e il valore minimo, quindi se troviamo questi due possiamo trovare anche quello che stiamo cercando.
Troviamo prima la soluzione in maniera più teorica per trovare delle formule generali che vadino bene per tutti i casi e poi applichiamole al nostro esempio:
Supponiamo quindi di avere due valori x_{m1} \pm \delta_{x1}e x_{m2} \pm \delta_{x2}.
Il primo avrà valore minimo V_{\text{mim}1} e valore massimo V_{\text{max}1}.
Il secondo avrà valore minimo V_{\text{min}2} e valore massimo V_{\text{max}2}.
Il minimo valore che può assumere la somma, sarà quando i due addendi assumono entrambi il valore minimo.
Quindi il valore minimo della somma sarà:
V_{\text{min, tot}} = V_{\text{min}1} + V_{\text{min}2}.
Allo stesso modo avremo il valore massimo della somma quando gli addendi assumono il valore massimo:
V_{\text{max}, tot} = V_{\text{max}1} + V_{\text{max}2}.
Possiamo ora calcolare il valore medio e l'incertezza assoluta della somma e usare un po' di algebra per semplificare:
x_{m, \text{tot}} = {V_{\text{max}, tot} + V_{\text{min, tot}} \over 2} = {V_{\text{max}1} + V_{\text{max}2} +V_{\text{min}1} + V_{\text{min}2} \over 2 }= {V_{\text{max}1} + V_{\text{min}1} + V_{\text{max}2} + V_{\text{min}2} \over 2 }={V_{\text{max}1} + V_{\text{min}1} \over 2} + {V_{\text{max}2} +V_{\text{min}2} \over 2}=x_{m1} + x_{m2}.
Cioè il valore medio della somma è uguale alla somma dei valori medi.
Mentre per l'incertezza assoluta avremo:
\delta_{x, \text{tot}} = {V_{\text{max}, tot} - V_{\text{min, tot}} \over 2} = {V_{\text{max}1} + V_{\text{max}2} - V_{\text{min}1} - V_{\text{min}2} \over 2 }= {V_{\text{max}1} - V_{\text{min}1} + V_{\text{max}2} - V_{\text{min}2} \over 2 }={V_{\text{max}1} - V_{\text{min}1} \over 2} + {V_{\text{max}2} - V_{\text{min}2} \over 2}=\delta_{x1} + \delta_{x2}.
Quindi anche le incertezze si sommano.
Possiamo quindi risolvere l'esercizio di prima:
Il valore medio della misurazione della lunghezza del tavolo è di 7,64m , mentre l'incertezza assoluta è di 0,11m, quindi la misura sarà (7,64 \pm 0,11)m.
Per la differenza di due numeri con incertezza, invece, facendo un ragionamento uguale a quello che abbiamo fatto prima, si dimostra che il valore medio della differenza è uguale alla differenza dei valori medi, mentre l'incertezza assoluta della differenza è uguale alla somma delle incertezze assolute.
Per la moltiplicazione, invece, è più complicato. Infatti, si può dimostrare che il valore medio del prodotto è uguale al prodotto dei valori medi. Calcolare direttamente l'incertezza assoluta, invece, è molto complicata. Conviene, dunque, calcolarsi prima l'incertezza relativa, che si può dimostrare essere uguale alla somma delle incertezze relative dei fattori.
Una volta ottenuta l'incertezza relativa del prodotto, ci basterà moltiplicarla per il valore medio per ottenere l'incertezza assoluta.
Vediamo un esempio:
Vogliamo misuare l'area di un campo da calcio. Sappiamo che è lungo (99 \pm 5) m ed è largo (39\pm 3) m.
Il valore medio dell'area sarà 99 \times 39 \text{m}^2 = 3861 \text{m}^2.
Calcolimoci le incertezze relative della lunghezza e della larghezza del campo:
La prima è uguale a {5 \over 99} = 0,05.
La seconda è uguale a {3\over 39} = 0,08.
Quindi l'incertezza relativa della'area sarà uguale a 0,05 + 0,08 = 0,13.
Dunque l'incertezza assoluta sarà 0,13 \times 3861 \text{m}^2 = 502 \text{m}^2.
Perciò avremo che l'area sarà uguale a (3861 \pm 502) \text{m^2}.
Avete visto come le incertezze diventato sempre più grandi man mano che si fanno i calcoli. Questo fenomeno è chiamato propagazione degli errori ed è la ragione per cui quando bisogna ottenere risultati da inserire poi in formule molto complicate, c'è bisogno di misurazioni precisissime.