Superficie e volume dei solidi

Cosa devo già sapere?

Da sapere:

Poliedri

Cosa sono il volume e la superficie?

Il volume equivale allo spazio occupato dal solido, mentre la superficie è la somma delle aree delle varie figure che lo delimitano.

Indicheremo la superficie di tutte le basi del solido come S_b, mentre chiameremo la superficie laterale S_l. La superficie totale sarà indicata come S_t o come S se è sottointeso che si tratti di essa.

Volumi e superfici di alcuni solidi

Iniziamo con il cubo:

La sua superfice è formata da 6 facce. Se chiamiamo il suo lato l, l'area di ognuna di esse sarà pari a l^2, dunque la superfice del cubo sarà:

S=6l^2

Sappiamo bene, poi, che il volume del cubo vale l^3:

V=l^3

Passiamo quindi al parallelopipedo:

Esso avrà dimensioni a,b e c. La sua superfice sarà formata da due basi di area ab e da altri 4 rettangoli, due con area pari a bc e due con area ac

Dunque la sua superficie di base sarà:

S_b = 2ab

e quella laterale sarà:

S_l=2bc + 2ac

Dunque la superficie totale equivale a:

S_t= S_b + S_l = 2ab + 2bc +2ac

Cioè:

S_t = 2 (ab + bc + ac)

Il suo volume è invece pari al prodotto delle dimensioni:

V=abc

Passiamo quindi al prisma retto. Esso è un prisma dove le due basi sono esattamente una sopra l'altra e dunque i rettangoli che le uniscono formano angoli di 90^{\circ} con esse:

L'area della base varia da prisma in prisma, quindi ci limiteremo a chimarla A_b, ottenendo quindi:

S_b = 2A_b

Per la superficie laterale, invece, abbiamo qualcosa di più interessante. Essa è infatti uguale alla somma delle aree dei rettangoli. Ognuna di esse equivale a hl_n, dove l_n è l'ennesimo lato della base.

Se quindi sommiamo tutte le aree e raccogliamo h, otteniamo:

S_l = hl_1 + hl_2 + ...+ hl_n = h(l_1 +l_2 +... l_n)

Ovvero è uguale ad h per la somma di tutti i lati della base. Quest'ultima, però, è uguale proprio al perimetro della base. Se chiamiamo il suo perimetro 2P_b avremo:

S_l = h\cdot 2P_b

Il suo volume invece sarà uguale alla base per l'altezza:

V= A_bh

Andiamo avanti con la piramide retta:

E' detta piramide retta perché il segmento che congiunge il vertice con il centro della base deve formare un'angolo retto con quest'ultima:

La sua superficie di base dipende dalla forma di essa: può essere un triangolo, un quadrato, un esagono e così via, dunque la chiameremo S_b e basta.

La superficie laterale, invece, equivale alla somma delle aree dei triangoli, che dovranno essere tutte uguali. Tracciamo l'altezza a rispetto al lato della base l:

Questa altezza viene chiamata apotema e per questo viene indicata con la lettera a. Se andiamo a sommare tutte ed n le aree, otteniamo:

S_l = {anl\over 2}

Notiamo però che nl equivale al perimetro 2P_b della base. Otteniamo quindi:

S_l = {a \cdot 2P_b\over 2}

Infine, se chiamiamo l'altezza della piramide h, il suo volume sarà:

V= {A_bh\over 3}

Passiamo ora a qualche solido più curvo. La superficie di base del cilindro è formata da cerchi di raggio r, dunque avremo:

S_b= 2\pi r^2

Per la superfice laterale, invece, se la srotoliamo:

Otteniamo un rettangolo con altezza pari all'altezza del cilindro e con base uguale alla circonferenza del cerchio. Avremo quindi:

S_l = 2\pi r h

Infine, il volume è uguale all'area della base A_b per l'altezza, ovvero:

V= h A_b = h\pi r^2

Se invece prendiamo un cono:

La sua superficie di base sarà uguale all'area del cerchio, ovvero a:

S_b= \pi r^2

Se andiamo ad "effettuare un taglio" sull'apotema e lo srotoliamo:

Otteniamo un triangolo con altezza pari all'apotema e con base pari alla circonferenza. Di conseguenza, la superficie laterale sarà uguale a:

S_l = \pi r a

Il volume, invece, equivale alla superficie di base moltiplicata per l'altezza diviso 3:

V= {h \pi r^2 \over 3}

Se avete fatto attenzione, avrete probabilmente notato molte analogie tra il parallelopipedo e il cilindro e tra la piramide e il cono. Queste analogie possono aiutarvi a ricordare le formule.

Vediamo quindi l'ultimo solido rimasto di questa lezione: la sfera.

La sua superficie è uguale a:

S= 4\pi r^2

Mentre il suo volume è pari a:

V= {4\over 3} \pi r^3