Serie

Cosa devo già sapere?

Da sapere:

Successioni

Cosa sono le serie?

Se prendiamo una successione \left \{ a_n \right\}, può essere interessante sommare i suoi termini. Indichiamo con s_n la somma degli elementi della successione fino a a_n.

Se sommiamo solo il primo termine, otteniamo:

s_0 = a_0

Non sembra molto interessante. Proviamo ad aggiungere qualche altro termine:

s_1 = a_0+a_1

s_2= a_0+a_1+a_2

Queste somme vengono chiamate somme parziali e più avanti vedremo che possono risultare più utili di quanto sembra. Usando la notazione con \sum possiamo riscrivere la definzione delle somme parziali come:

s_n = \sum_{k=0}^{n} a_k

Man mano che aumentiamo n, stiamo sommando sempre più termini della successione. Se volessimo sommare tutti i termini, quindi, dovremmo prendere il limite per n che tende a più infinito.

Chiamiamo questa quantità serie dei termini a_n e solitamente si indica con la lettera S maiuscola:

S= \displaystyle \lim_{n \to +\infty} s_n =\displaystyle \lim_{ n\to +\infty} \sum_{k=0}^{n} a_n

Qualche volta, per abbreviare, si indica la serie come \sum a_n , cioè gli indici sono sottintesi.

Vi potreste star chiedendo: "ma se sommo infiniti termini, non dovrei ottenere sempre +\infty?" Vi ricordate delle serie geometriche?

Si chiamano serie geometriche proprio perché sono delle serie. Se non ve le ricordate bene, potete andare a ripassarle sulla nostra lezione apposita.

Quindi, se ad esempio prendiamo la successione \left\{ {1\over 2}^n \right \}, la sua serie sarà:

S= \sum_{k=0}^{+\infty} {1\over 2}^k

Si tratta di una serie geometrica con base compresa tra 0 ed 1. Sappiamo che la formula generale per questa tipologia di serie è:

S= \sum_{k=0}^{+\infty} {1\over x}^k = {1\over 1-x}

Sempre supponendo che x sia compreso tra 0 ed 1. Nel nostro caso quindi otteniamo:

S= \sum_{k=0}^{+\infty} {1\over 2}^k = {1\over 1 -{1\over 2}}= 2

Dunque una serie non è sempre uguale a +\infty. Gran parte dello studio delle serie riguarda proprio questo problema. Prima di entrare più in dettaglio, però, approfondiamo un po' le somme parizali:

Somme parziali

Come abbiamo anticipato prima, lo studio delle somme parziali di una successione è molto più interessante di quanto sembri all'inizio. Infatti ci permettono, in alcuni casi, di scoprire caratteristiche importanti della serie.

Quello che vogliamo fare è trovare una formula che ci dice subito quanto vale s_n. Vediamo un esempio:

Qualche anno fa avete studiato i numeri triangolari. Se non ve li ricordate, non importa, li rivedremo adesso velocemente:

L'ennesimo numero triangolare equivale alla somma di tutti i numeri naturali fino a n. Se quindi faccio 1+2+3 ottengo il terzo numero triangolare, 6, se faccio 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 ottengo il decimo numero triangolare, 55.

Si chiamano numeri triangolari perché se sommi quadratini in questo modo mettendoli uno sotto all'altro ottieni un triangolo:

Possiamo quindi creare la successione {n} formata dai numeri naturali. Siccome però non esiste uno 0-esimo numero triangolare, mettiamo il primo termine uguale a 0.

L'n-esima somma parziale di questa successione sarà infatti l'n-esimo numero triangolare T_n:

s_1 = 0+1= 1 = T_1

s_2 = 0+1+2= 3= T_2

s_n = 0+1+2+3+4+...+n= T_n

Perché abbiamo fatto tutto questo amabaradam? Perché ci sta un semplice formula che ci permette di calcolare i numeri triangolari velocmente:

T_n = {n(n+1) \over 2}

Questa formula è stata dimostrata dal famoso matematico Gauss quando era ancora bambino. Otteniamo dunque una formula per le somme parziali:

s_n = {n(n+1)\over 2}

Questo ci sarà utilissimo nel prossimo capitolo, in cui studieremo il carattere di una serie:

Carattere di una serie

Come abbiamo anticipato prima, vogliamo sapere se la nostra serie S converge, se diverge o altro. Formalmente, questa proprietà viene chiamata il carattere della serie e ci sono 4 possibilità:

S è un numero finito. In tal caso si dice che S è una serie convergente.

S tende a +\infty. In questo caso si dice che S è una serie divergente positivamente.

Se invece S tende a -\infty, allora è una serie divergente negativamente

Infine, se \displaystyle \lim_{n \to +\infty} s_n non esiste e quindi non si riesce a calcolare S, si dice che è una serie indeterminata.

Come determinare il carattere di una serie? Intanto, se il limite della successione della serie diverge, anche la serie dovrà divergere, perché sommare termini che tendono ad infinito dovrà darci infinito.

Notiamo che l'unico modo in cui una serie può convergere è se i termini che sommiamo diventano sempre più piccoli, ovvero più vicini a 0.

Infatti non basta che la successione converga. Se, ad esempio, la successione convergesse a 2, noi staremo sommando infiniti termini vicini a 2 ed ovviamente otterremo +\infty.

Il fatto però che la successione converga a 0 è una condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza della serie. Ovvero, se la serie converge, il limite della successione deve essere per forza 0, però non è vero il contrario:

Se il limite della successione tende a 0, la serie può essere convergente, ma non è detto. Dobbiamo usare altre tecniche per scoprirlo.

Un modo è vedere come si comportano le somme parziali:

Rircordiamo infatti che S viene definita come:

S= \displaystyle \lim_{n \to +\infty} s_n

Quindi se conosciamo una formula per calcolare velocemente s_n ci basta risolvere il limite. Nell'esempio di prima dei numeri triangolari, è ovvio che la serie diverge a più infinito perché stiamo sommando numeri naturali sempre più grandi. Se infatti andiamo a risolvere il limite otteniamo:

S= \displaystyle \lim_{n \to +\infty} s_n = \displaystyle \lim_{n\to +\infty} {n(n+1)\over 2} = +\infty

come aspettato.

Se però, ad esempio, otteniamo che le somme parziali sono calcolabili nel seguente modo:

s_n = {2n\over n+1}

Quando se andiamo a prendere il limite otteniamo:

S= \displaystyle \lim_{n\to +\infty} s_n = \displaystyle \lim_{n\to +\infty} {2n\over n+1}= 2

Dunque la serie converge a 2. Anche se non sappiamo di quale successione stiamo parlando, sappiamo che il limite della successione vale 0 perché abbiamo appena scoperto che la sua serie converge.

Purtroppo, però, può essere molto complicato trovare una formula per le serie parziali. Per fortuna, però, esistono altri metodi che vi permetteranno di determinare il carattere di tutte le serie che incontrerete. Andiamo a vederli:

Proprietà e criteri di convergenza

Iniziamo analizzando due intuitive proprietà delle serie:

Se una serie converge, anche se la moltiplichiamo per uno scalare continua a convergere. Questo perché se moltiplichiamo un numero finito per un altro numero finito, dobbiamo ottenere un numero finito.

Questo può essere utile per semplificare o per poter effettuare trucchetti algebrici. Quindi, se una serie \sum_{n=0}^{+\infty}a_n converge, anche \sum_{n=0}^{+\infty} c\cdot a_n converge se c è una costante finita.

Se poi sommiamo due serie che convergono, il risultato deve essere una serie convergente. Questo perché se sommiamo due numeri finiti dobbiamo ottenere un altro numero finito. Dunque, se abbiamo due serie \sum_{n=0}^{+\infty}a_n e \sum_{n=0}^{+\infty}b_n che convergono, allora \sum_{n=0}^{+\infty}a_n+b_n deve convergere.

Passiamo ora ai criteri di convergenza per le serie numeriche:

Se abbiamo due successioni \left \{ a_n \right \} e\left \{ b_n \right\} i cui termini sono tutti positivi e per ogni n è verificato che:

a_n \leq b_n

E \sum b_n converge, allora anche \sum a_n converge. Se infatti ogni termine della seconda serie è maggiore del suo corrispettivo nella prima, la serie della seconda dovrà essere maggiore della prima.

Fate attenzione, tutti i termini devono essere positivi, altrimenti la serie di \left \{ a_n \right \} potrebbe divergere negativamente.

Con le stesse condizioni, se \sum a_n diverge, anche \sum b_n dovrà divergere, essendo maggiore.

Sempre supponendo che i termini di \left\{ a_n\right \} e \left \{ b_n \right \} siano tutti positivi, il rapporto tra i loro limiti può darci informazioni importanti. Prendiamo quindi questo quoziente:

{\displaystyle \lim_{n\to +\infty} a_n \over \displaystyle \lim_{n\to +\infty} b_n }

Siccome il rapporto di due limiti è uguale al limite del rapporto, possiamo unire i due limiti:

\displaystyle \lim_{n\to +\infty} {a_n\over b_n}

Siccome abbiamo detto che tutti i termini devono essere positivi, questo rapporto deve essere positivo.

Ora, se il limite è un numero finito, allora o \sum a_n e \sum b_n divergono entrambe, oppure entrambe convergono. Cioè, il loro carattere deve essere lo stesso.

Se il limite è uguale a 0 e \sum b_n converge, allora pure \sum a_n converge.

Infine, se il limite è uguale a +\infty e \sum b_n diverge, allora pure \sum a_n diverge.

Notate che in tutti e tre i casi, per conoscere il carattere di \sum a_n dobbiamo sapere il risultato del limite e il carattere di \sum b_n. Quindi il punto è prendere una serie di cui conosciamo il carattere e calcolare il rapporto tra il limite della nostra serie e di quest'altra.

Notate che questo test non è infallibile, infatti se ad esempio il limite è uguale a 0 e \sum b_n diverge, non sappiamo nulla su \sum a_n, quindi bisogna saper scegliere bene \sum b_n, altrimenti potete usare il metodo seguente:

Supponiamo che i termini della nostra successione \left \{ a_n \right \} siano tutti non negativi. Questa volta, quindi, possono pure essere uguali a 0. Prendiamo il limite della successione, ma moltiplichiamo il termine per n^p:

\displaystyle \lim_{n\to +\infty} n^p a_n

n è la variabile di cui stiamo prendendo il limite, ma chi è p? Può essere un qualsiasi numero reale, dovete essere voi a scegliere di caso in caso quale valore dargli. Però, valori di p diversi portano a conclusioni diverse:

Infatti, se il limite è un numero finito e p è maggiore di 1, allora \sum a_n converge. Se però p è minore o uguale a 1, allora \sum a_n diverge.

Se il limite è uguale a 0 e p è maggiore di 1, allora \sum a_n converge. Se invece p è minore o uguale a 1, non si sa niente di nuovo.

Se, infine, il limite è uguale a +\infty e p è minore o uguale a 1, allora \sum a_n diverge.

Questo metodo può essere molto utile perché se la legge di \left \{ a_n \right \} si semplifica bene con qualche potenza di n, può essere molto facile calcolare il limite. Bisogna però scegliere p con attenzione e non sempre funziona.

Ci sono poi molti casi da ricordare, però, conoscendo bene come si lavora con i limiti, potete aiutarvi con la logica. Se questo test dovesse fallire o se dovesse risultare troppo complicato, potete usare il seguente:

Questo metodo viene solitamente chiamato criterio della radice ed è utile sopratutto per somme con termini esponenziali. Infatti afferma che se prendiamo il seguente limite:

\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n] a_n

Il risultato può darci delle informazioni importanti. Infatti, se questo limite è minore di 1, la serie \sum a_n converge. Se inevece è maggiore di 1, la serie diverge. E se è uguale ad 1? Non si sa niente di nuovo. Anche questo metodo, come tutti gli altri, non funziona sempre.

Come detto prima, se abbiamo successioni con leggi esponenziali, come \left \{ \left({3\over 5}\right)^n \right \}, può essere veramente utile. Infatti, applicandolo a questo esempio, otteniamo che il limite vale {3\over 5} e quindi la serie converge (si tattava infatti di una serie geometrica, ma solitamente troviamo leggi più complicate).

Supponendo sempre che i termini di \left \{ a_n \right \} siano tutti positivi, possiamo provare ad usare il criterio del rapporto. Infatti possiamo prendere il limite del seguente rapporto:

\displaystyle \lim_{n\to +\infty} {a_{n+1} \over a_n}

Se il limite è minore di 1, la serie converge. Infatti vorebbe dire che i termini diminuiscono molto velocmente e siccome abbiamo detto che sono tutti positivi, devono essere maggiori di 0, quindi la successione tende a 0 abbastanza velocemente da far convergere la serie. D'altro canto, se il limite è maggiore di 1 la serie deve divergere.

Ancora una volta, se il limite è uguale ad 1, non possiamo dire nulla di nuovo e ci toccherà usare un altro metodo.

Questo metodo è estremamente utile per le successioni con fattoriali nella loro legge. Infatti, è piuttosto difficile lavorare con i fattoriali nei limiti, ma prendendo il rapporto si semplificano facilmente.

Per l'ultimo criterio, supponiamo invece che i termini abbiano segno alternato. Ovvero dopo un termine positivo ce n'è uno negativo, poi uno positivo e così via.

Se il modulo di ogni termine è minore o uguale a quello del termine precente e il limite della successione converge a 0, allora la serie converge.

Dire che il modulo dei termine diminuisce o resta uguale, significa che si avvicinano sempre di più a 0.

Utilizzando questi criteri, dovreste essere capaci di trovare il carattere di tutte le serie che incontrerete. Ci sono poi delle serie famose e comuni da incontrare i cui valori si imparano a memoria solitamente:

Serie notevoli

Se sommiamo tutti i reciproci dei numeri naturali:

1+{1\over 2} + {1\over 3} + ...

Noterete che va ad aumentare sempre più lentamente. Però non lasciatevi ingannare! Anche se molto lentamente, questa somma diverge a più infinito. Riscrivendolo nel linguaggio delle serie, se prendiamo la successione \left \{ {1\over n+1}\right \}, la sua serie diverge ad infinito.

Questa serie viene chiamata serie armonica. Se però eleviamo ogni termine della serie per un numero p:

1 + {1\over 2^p} + {1\over 3^p} + ...

otteniamo quella che viene chiamata serie armonica generalizzata. Infatti è un caso più generale della serie armonica (basta mettere p=1 per riottenerla).

Se p è minore o uguale ad 1, la serie diverge, altrimenti, se p è maggiore di 1, la serie converge.

Risulta però piuttosto complicato calcolare l'esatto valore. Ad esempio, il matematico Eulero calcolò qualche secolo fa che nel caso p=2, la serie converge a \pi^2 \over 6. Credo nessuno si sarebbe mai aspettato di trovare \pi qui.

Vi limiterete quindi a sapere quando converge e quando diverge.

Già conoscete le serie geometriche. Infatti sapete che la serie della successione \left \{p^n \right \} converge se p è compreso tra 0 ed 1 e diverge per p maggiori di 1.

E se p è negativo? Se è negativo ma maggiore di -1, la serie converge, altriementi, se è minore di -1, la serie è indeterminata. E' la prima volta in questa lezione che parliamo di una serie indeterminata, infatti non le vedrete spesso.