Punti notevoli dei triangoli
Di seguito analizzeremo i punti notevoli dei triangoli.
Cosa sono i punti notevoli dei triangoli?
I punti notevoli dei triangoli sono una serie di punti ottenuti dall'intersezione di alcuni segmenti particolari. Essi sono il baricentro, l'ortocentro, l'incentro, il circocentro e l'excentro.
Questi punti possiedono delle informazioni importanti ed alcune proprietà utili.
Studiamoli uno ad uno:
Baricentro
Il baricentro di un triangolo è il punto di incrocio delle sue mediane:
Il baricentro si trova sempre all'interno del triangolo e divide le mediane in due parti. Quella che parte dal vertice è sempre lunga il doppio di quella che arriva alla base:
Avrete sentito parlare del baricentro in fisica quando studiavate l'equilibrio delle forze e si tratta dello stesso baricentro, non è una coincidenza.
Ortocentro
L'ortocentro di un triangolo è il punto di incontro delle sue altezze:
Al contrario del baricentro, l'ortocentro può trovarsi dentro o fuori del triangolo. La sua posizione ci da informazioni importanti sul triangolo in questione:
Se l'ortocentro si trova all'esterno del triangolo, allora il triangolo deve essere ottusangolo (cioè ha un angolo ottuso, ovvero maggiore di 90^{\circ}).
Se invece l'ortocentro di trova all'interno del triangolo, allora il triangolo deve essere acutangolo (cioè non ha angoli superiori a 90^{\circ}).
Se, infine, l'ortocentro si trova su un vertice del triangolo, allora il triangolo deve essere retto in quel vertice.
Incentro
L'incentro di un triangolo è il punto di incontro delle sue bisettrici:
L'incentro è il centro della circonferenza iscritta nel triangolo:
Infatti l'incentro dista ugualmente da tutti e tre i lati e si trova sempre all'interno del triangolo.
Se prendiamo il seguente triangolo:
Dobbiamo avere:
\overline{AI}: \overline{ID}= \overline{AB} : \overline{BD}
Circocentro
Il circocentro di un triangolo è il punto di incontro degli assi dei suoi segmenti:
Ricordiamo che l'asse di un segmento è la retta che passa perpendicolarmente nel punto medio del segmento.
Il circocentro è anche il centro della circonferenza circoscritta al triangolo:
Come l'ortocentro, può trovarsi dentro o fuori del triangolo e la sua posizione ci da informazioni sul triangolo:
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Se il circocentro si trova all'interno del triangolo, quest'ultimo deve essere acutangolo.
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Se invece si trova all'esterno, deve essere ottusangolo.
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Se invece si trova sul perimetro del triangolo, deve trattarsi di un triangolo rettangolo e il circocentro, in particolare, deve trovarsi sul punto medio dell'ipotenusa.
Excentro
L'excentro è un po' più difficile da definire. Si tratta infatti del punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni e della bisettrice dell'altro angolo:
Un triangolo avrà quindi 3 excentri. Ecco gli altri due del triangolo qui sopra:
Per comprendere di quale excentro stiamo parlando, quindi, dobbiamo dire rispetto a quale lato lo stiamo prendendo.
L'excentro è anche il centro della circonferenza tangente al lato rispetto al quale l'abbiamo preso e ai prolungamenti degli altri due lati: