Di seguito analizzeremo i problemi sulla somma e differenza.
I problemi sulla somma e differenza sono dei problemi in cui conosciamo la somma e la differenza di due numeri e vogliamo trovare quanto valgono questi due numeri.
Per esempio, potremo sapere che la somma tra l'età di Marco e quella di suo padre è 70 anni e che la loro differenza è 10 anni e vorremmo sapere quali sono le loro età. Come fare?
Basta usare questa formula:
Per ottenere il numero più grande, dobbiamo fare somma più differenza diviso due, mentre per quello più piccolo dobbiamo fare somma meno differenza diviso due.
Quindi nel nostro caso avremo:
\text{Età}_{Padre} = {70+10\over 2}\text{anni} = {80\over 2} \text{anni} = 40 \text{anni}
Mentre per l'età di Marco avremo:
\text{Età}_{Marco} = {70-10\over 2}\text{anni} = {60\over 2} \text{anni} = 30 \text{anni}
Infatti se faccio 30+40 ottengo 70 e se faccio 40-30 ottengo 10.
In generale, dunque, le due formule saranno:
\text{Numero grande} = {\text{somma} + \text{differenza}\over 2}
\text{Numero piccolo} = {\text{somma} - \text{differenza}\over 2}
Vediamo un altro esempio:
Abbiamo due segmenti \overline{AB} e \overline{CD}. Sappiamo che \overline{AB} + \overline{CD} = 40\text{cm} e \overline{AB} - \overline{CD} = 20\text{cm}, quanto sono lunghi i due segmenti?
Siccome abbiamo fatto \overline{AB} - \overline{CD} ed è uscito un numero positivo, vuol dire che \overline{AB} è il più grande (e di conseguenza \overline{CD} è il più piccolo), dunque avremo:
\overline{AB} = {\text{somma} + \text{differenza}\over 2} = {40+ 20\over 2} \text{cm} = {60\over 2} \text{cm} = 30 \text{cm}
\overline{CD} = {\text{somma} - \text{differenza} \over 2} = {40-20\over 2} \text{cm} = {20\over 2} \text{cm} = 10 \text{cm}
Facendo la somma e la differenza si vede subito che i conti tornano.
Ok, dunque basta soltanto applicare quelle due formule per risolvere questo tipo di problemi.
Però qualcuno potrebbe obbiettare che quelle due formule le ho tirate fuori dal nulla senza dimostrarle e qui non stiamo facendo magie dove possiamo far comparire cose da dentro un cilidro, ma stiamo facendo matematica e dobbiamo dimostrare tutto quello che affermiamo.
Ed avrebbe ragione! Quindi ecco qua la dimostrazione di queste due formule:
Per dimostrarle dobbiamo iniziare dando un nome ai due numeri. Chiamiamo il più grande a e il più piccolo b.
La loro somma sarà dunque a+b, mentre la loro differenza sarà a-b.
Vediamo cosa succede quando faccio la somma più la differenza e divido per due:
{\text{somma} + \text{differenza} \over 2} = {a+b\, +\, a-b\over 2} = {2a\over 2} = a
Vedete che ottengo proprio a? Il +b della somma e il -b della differenza si semplificano, lasciandoci soltanto 2a. Quando dividiamo per 2, quindi, otteniamo a.
Adesso controlliamo pure la formula per b: facciamo la somma meno la differenza e dividiamo tutto per due:
{\text{somma} - \text{differenza}\over 2} = {a+b - (a-b)\over 2} = {a+b-a+b\over 2} = {2b\over 2} = b
Come ci aspettavamo, esce proprio b! Quindi abbiamo dimostrato che le formule sono sempre vere, perchè valgono per qualsiasi a e b.