Quello di probabilità è un concetto piuttosto intuitivo e lo incontriamo spesso nella nostra vita quotidiana, ma proviamo a definirlo matematicamente:
Per esempio, se lanciamo una monetina potrà uscire testa o croce. Per sapere qual'è la probabilità che esca testa dobbiamo fare così:
Prendiamo l'insieme \Omega (insieme dei casi possibili). Il primo caso, dunque, è che esca testa, mentre il secondo è che esca croce.
Quindi possiamo scrivere il nostro insieme \Omega come:
\Omega = \{"esce testa", "esce croce" \}
Che possiamo anche schematizzarlo con:
\Omega = \{testa, croce \}
Dunque, prendiamo un evento E di \Omega. Un evento viene definito come un qualsiasi sottoinsieme di \Omega.
Intuitivamente, possiamo pensarlo come ad un qualcosa che può succedere.
Nel nostro esempio E potrebbe essere "esce testa".
"La probabilità dell'evento E viene definita come il numero di casi favorevoli diviso il numero di casi possibili."
I casi favorevoli sono gli eventi di \Omega che appartengono al sottoinsieme E, o in altre parole quelli per i quali avviene E, mentre i casi possibili sono tutti i casi possibili che possono succedere, ovvero tutti quelli che appartengono ad \Omega.
Per indicare il numero di casi appartenenti ai due insiemi, possiamo usare il concetto di cardinalità di un insieme. Infatti la cardinalità |X| di un insieme X è uguale al numero di elementi che contiene.
Dunque possiamo riscrivere l'equazione definita prima a parole come:
P(E)={|E| \over |\Omega|}
Nel nostro esempio, quindi, avremo che |\Omega|=2 (perchè abbiamo solo due casi possibili) mentre |E|=1 (perchè abbiamo un solo caso favorevole), dunque:
P(E)={1 \over 2}
Che in percentuale sarebbe il 50%
Vediamo un esempio più articolato:
Se lanciamo un dado a sei facce, qual'è la probabilità che esca un numero dispari?
L'insieme \Omega di tutti i casi possibili sarà:
\Omega=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}
Mentre E è il sottoinsieme dei casi favorevoli, ovvero di tutti i numeri dispari che possono uscire:
E=\left\{ 1,3,5 \right\}
Quindi anche in questo caso avremo:
P(E)={|E| \over |\Omega|}={3 \over 6}= {1 \over 2}
In entrambi i nostri esempi ci è uscito il valore {1 \over 2}, ma in generale quali valori può assumere?
La cardinalità di un insieme è sempre positivo perchè non puoi avere un numero negativo di elementi, quindi dovrà essere maggiore di 0.
Inoltre, E è un sottoinsieme di \Omega, dunque non potrà avere più elementi di \Omega, quindi il rapporto {|E| \over |\Omega|} deve essere minore di 1.
Dunque la probabilità di un evento è un valore compreso tra 0 ed 1. Se è uguale a 0, vuol dire che E è un insieme vuoto, quindi non ci sono casi favorevoli. Questo vuol dire che è impossibile che E accada.
Se invece la sua probabilità è uguale ad 1, E è uguale ad \Omega e quindi tutti i casi possibili sono casi favorevoli. Si dice dunque che E è certo.
Questa è la definizione classica della probabilità. Ci sono poi altre definizioni che vedremo più avanti.
Lanciando quattro volte una moneta, qual'è la probabilità che esca tre volte croce ed una volta testa?
\frac{1}{4}
Per determinare la probabilità di ottenere tre volte croce e una volta testa:
1. Calcoliamo il numero totale di possibili esiti lanciando quattro volte una moneta: 2^4 = 16.
2. Il numero di modi in cui possiamo ottenere tre croci (C) e una testa (T) è dato da \left ( \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right ) = 4.
3. La probabilità è quindi data da \frac{4}{16} = \frac{1}{4}.
Lanciando due dadi (a sei facce) qual'è la probabilità che la somma dei due numeri usciti faccia 10?
\frac{1}{12}
Per calcolare la probabilità che la somma dei due dadi sia 10:
1. Identifichiamo le coppie di numeri che sommano 10: (4,6), (5,5), (6,4).
2. Calcoliamo il numero totale di esiti possibili lanciando due dadi: 6 \times 6 = 36.
3. Il numero di esiti favorevoli (somma = 10) è 3.
4. Quindi, la probabilità è \frac{3}{36} = \frac{1}{12}.
Ci sono cinque scatole chiuse con dentro cinque palline numerate (da 1 a 5) e cinque persone anch'esse numerate da 1 a 5. Ogni persone prende una scatola. Qual'è la probabilità che tutti e cinque prendino la scatola con il proprio numero?
\frac{1}{120}
Per trovare la probabilità che ogni persona prenda la scatola corretta:
1. Il numero di permutazioni totali delle scatole è 5! = 120.
2. Solo una di queste permutazioni corrisponde a ogni persona che prende la scatola giusta.
3. Quindi, la probabilità è \frac{1}{120}.
Una roulette ha 18 numeri rossi, 18 numeri neri e un verde. Ad ogni lancio, qual'è la probabilità che esca il rosso? Se dunque ogni volta che esce rosso il giocatore raddoppia la vincita e se perde allora perde la puntata, cosa succederà al lungo andare?
\frac{18}{37} \approx 0.486
Per calcolare la probabilità che esca un numero rosso:
1. Il totale dei numeri sulla roulette è 37.
2. I numeri rossi sono 18.
3. Quindi, la probabilità è \frac{18}{37} che è circa 48.6\%.
Per quanto riguarda il lungo periodo:
4. Se il giocatore raddoppia la puntata ogni volta che perde e recupera la perdita quando vince, è molto probabile che alla fine perda i suoi soldi, data la probabilità sfavorevole.
Pino e Goffredo dicono contemporaneamente due numeri compresi tra 1 e 1000 (estremi inclusi). Qual'è la probabilità, in percentuale, che dicano lo stesso numero?
0.1\%
Per trovare la probabilità che Pino e Goffredo dicano lo stesso numero:
1. Il numero totale di coppie di numeri che possono essere detti è 1000 \times 1000 = 1000000.
2. C'è solo una coppia di numeri che è la stessa.
3. Quindi, la probabilità è \frac{1}{1000000} = 0.0001\%.
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