Onde

Cos'è un'onda?

Un'onda è una perturbazione che è costituita dalla variazione di qualunque grandezza fisica.

Questa definizione può apparire un po' complicata all'inizio, ma alla fine di questo paragrafo dovrebbe esservi chiaro il suo significato.

In questa studieremo soltanto le onde meccaniche. Esse sono le onde che hanno bisogno di un mezzo elastico per propagarsi.

Un mezzo elastico è un mezzo che, quando deformato, tende a ripristinare la situazione iniziale. In realtà tutti i mezzi sono elastici, ma ce ne sono di più elastici e meno elastiici.

Esempi di onde meccaniche sono il suono o un'onda che si propaga su una corda, mentre la luce non è un'onda meccanica perché si può propagare anche nel vuoto(essa viene per questo chiamata onda elettromagnetica).

L'onda meccanica ha origine dentro il mezzo elastico quando una porzione di esso viene perturbato. Per questo si parla di una perturbazione.

Il mezzo nel suo insieme non cammina, solo le varie parti del mezzo oscillano entro limiti ristretti. Quindi un rumore non spposta l'aria, la fa solo oscillare.

La perturbazione, come detto nella definizione, può essere di qualsiasi grandezza fisica. Per esempio, le onde sonore sono causate da una perturbazione della pressione.

Noi studieremo solo il caso in cui il mezzo di propagazione si tratti di un mezzo elasitco omogeneo e isotropo.

Un mezzo è detto omogeneo se si comporta nello stesso modo in tutti i punti di osservazione al suo interno.

Un mezzo è detto isotropo se le caratteristiche fisiche (per esempio la densità) non dipendono dalla direzione in cui guardi (stando all'interno di esso).)

Adesso che abbiamo capito cosa sia un'onda, passiamo alle sue varie classificazioni:

Classificazione

Abbiamo già visto nel paragrafo precedente la differenza tra onde meccaniche ed onde elettromagnetiche.

Un'onda, poi, può essere trasversale o longitudinale.

Un'onda è detta trasversale se le direzione delle vibrazioni è perpendicolare alla direzione della propagazione

Un'onda è detta longitudinale se la direzione delle vibrazioni è parallela alla direzione della propagazione

Un esempio di onde trasversali sono le onde su una corda, mentre un esempio di onde longitudinali sono le onde sonore.

Possiamo inoltre classificare le onde a seconda del numero di dimensioni in cui si propagano:

Le onde monodimensionali sono onde che si propagano in una sola dimensione.

Un esempio di onda monodimensione è un'onda che si propaga su una corda:

Le onde bidimensionali sono onde che si propagano in due dimensioni.

Un esempio di onda bidimensionale è l'onda che ottenete quando buttate un sassolino nell'acqua:

Le onde tridimensionali sono onde che si propagano in tutte e tre le dimensioni dello spazio.

Un esempio di una tridimensionale è un'onda sonora:

Infine, possiamo distinguere tra onde a impulso ed onde a oscillazione perpetua.

Un'onda è detta a impulso se le particelle oscillano una volta sola.

Un'onda è detta a oscillazione perpetua se fanno potenzialmente infinite oscillazioni. Esse vengono anche chiamate treni d'onde.

Se le oscillazioni, poi, avvengono in maniera periodica, vengono chiamati treni d'onde periodiche

Onda dal punto di vista matematico

Studiamo le onde dal punto di vista matematico:

Prendiamo una corda tesa:

Adesso tiriamo su una sua estremità e poi ritiriamola giù. La corda passera dal seguente stato:

Al seguente:

E' come se quella curva si fosse spostata verso destra. Proviamo a riportarla sul piano cartesiano. L'asse x rappresenterà la corda in stato di quiete:

Una funzione di x ci mostrerà la curva che si forma:

Dopo un tempo t' la corda sarà rappresentata da quest'altra funzione:

Quindi la funzione che descrive la corda non dipende soltanto dalla posizione lungo la corda (la x) ma anche dal tempo t. Quindi avremo in generale:

y = f(x,t)

Come tenere conto del cambiamento durante il tempo t'? Possiamo notare che l'onda si sposta sempre ad una velocità costante v, chiamata velocità di fase.

Se chiamiamo la distanza percorsa dall'onda come \Delta x, per le leggi del moto rettilineo uniforme dovremo avere:

\Delta x = v \cdot t'

Sappiamo che traslare una funzione verso destra per una distanza \Delta x equivale a sottrare questo \Delta x al suo argomento.

In generale, in un tempo t lo spostamento Delta x sarà uguale, sempre per le leggi del moto rettilineo uniforme, a vt.

Quindi, per tener conto del cambiamento nel tempo t ci basterà sottrare \Delta x, cioè vt, all'argomento di f(x):

y = f(x-vt)

E' complicato lavorare con due parametri contemporaneamente, quindi vediamo cosa succede se uno dei due è costante:

Se fisso il tempo t ad un certo valore t_0, quello che sto facendo è fermare il tempo in quel momento ed analizzare la situazione di quell'istante. Sto come facendo una fotografia.

E' quello che avevamo fatto nei grafici precedenti, quando avevamo visto la situazione quando il tempo era uguale a 0 e quando a t'.

Se invece fisso la posizione x, quello che sto facendo è fermarmi su un singolo punto della corda e guardare come esso si muove verticalmente nel tempo. Otterò un grafico del genere:

Se tiro su e giù la corda abbiamo detto che creo un'onda. Se continuo a tirare su e giù la corda più volte, creo quello che viene chiamato un treno d'onde:

Come prima avremo y = f(x-vt) ed in particolare avremo una funzione cosinusoidale:

y = A \cos(k(x -vt))

Dove A rappresenta l'ampiezza (cioè l'altezza massima dell'oscillazione), v è la velocità di fase e k è un valore che vedremo tra poco come calcolare.

Definiamo la distanza tra due punti che oscillano nello stesso modo come la lunghezza d'onda e si indica solitamente con la lettera greca \lambda (lambda):

Definiamo poi il periodo T di un'onda come il tempo che essa impiega per percorrere la sua lunghezza d'onda.

Per le leggi del moto rettilineo uniforme dovremo quindi avere:

\lambda = vT

Definiamo inoltre la frequenza f come l'inverso del periodo:

f = {1\over T}

Dunque da queste due formule otteniamo anche che:

v = {\lambda \over T} = \lambda \cdot {1\over T} = \lambda f

v = \lambda f

Ora vediamo come calcolare la misteriosa k che era comparsa nella formula dell'onda:

Fissiamo il tempo t ad un certo valore t_0. Prendiamo ora due punti x_i e x_f sulla corda la cui y vale 0:

Se prendiamo due zeri consecutivi, siccome sono i punti più vicini ad oscillare nello stesso modo, la distanza tra i due dovra essere uguale a lambda. Dovremo quindi avere:

x_f - x_i = \lambda

Siccome le loro y sono uguali a 0, dobbiamo avere:

A \cos(k(x_i-vt_0)) = 0

e

A \cos(k(x_f - vt_0)) = 0

Eliminando A otteniamo:

\cos(k(x_i -vt_0)) = 0

\cos(k (x_f - vt_0)) = 0

Possiamo usare la goniometria che abbiamo imparato precedentemente per osservare che siccome i due coseni sono entrambi uguali a 0, i loro argomenti devono differire di un qualche multiplo di 2\pi.

Siccome abbiamo scelto di prendere due zeri consecutivi, questo multiplo di 2\pi dovrà essere proprio 2\pi.

Quindi:

k(x_f - vt_0) - k(x_i - vt_0) = 2\pi

Espandiamo, semplifichiamo e raccogliamo k:

kx_f -kvt_0 - kx_i + kvt_0 = 2\pi

kx_f - kx_i = 2\pi

k (x_f - x_i) = 2\pi

Avevamo però detto che x_f - x_i era uguale alla lunghezza d'onda \lambda, per cui:

k\lambda = 2\pi

k = {2\pi \over \lambda}

Quindi conoscendo la lunghezza d'onda possiamo facilmente trovare k.

Sostituendo 2\pi\over\lambda al posto di k nell'equazione dell'onda otteniamo:

y = A \cos({2\pi\over\lambda} (x - vt))

y = A \cos({2\pi\over \lambda}x - {2\pi\over\lambda} vt)

Ricordiamoci che, per la definizione di periodo, avevamo v = {\lambda \over T}, per cui:

y = A \cos({2\pi \over \lambda} x - {2\pi\over\lambda }{\lambda \over T} t)

y = A \cos({2\pi\over\lambda}x - {2\pi\over T}t)

Adesso definiamo la pulsazione come la velocità con cui le particelle stanno oscillando. Essa si indica con la lettera greca \omega (omega) e si può dimostrare essere uguale a {2\pi\over T}.

Possiamo quindi riscrivere la funzione dell'onda come:

y = A \cos({2\pi\over \lambda}x - \omega t)

y = A\cos(kx -\omega t)

Può anche esserci una fase iniziale \phi_0:

y = A \cos(kx -\omega t -\phi_0)

Questa è la forma più comune dell'equazione ed è quella che userete più spesso nella risoluzione degli esercizi.

Infine, due onde sono dette in fase se la differenza delle loro fasi è uguale ad un multiplo di 2\pi (solitamente 0):

\Delta \phi = 2\pi n

Mentre sono dette in controfase se la differenza tra le due fasi è un multiplo dispari di pi (spesso proprio pi):

\Delta \phi = (2n+1)\pi

Intensità di un'onda

L'intensità di un'onda è l'energia che passa per la sezione trasversale in un unità di tempo. In formule matematiche avremo dunque:

I = {E \over \Delta t \space S}

Notiamo poi che {E \over \Delta t}, ovvero energia fratto tempo, è la definizione della potenza P. Possiamo perciò riscrivere la formula dell'intensità come:

I = {P\over S}

Siccome

Per poter costruire una scala di misura comoda, viene scelto una minima intensità sonora percepibile. Essa non è veramente la minima intensità che qualsiasi uomo può percepire, in quanto qualcuno sente meglio di altri e dunque si tratta solo di una convenzione, un valore scelto per poter costruire la scala. Esso vale dunque:

I_0 = 10^{-12} {W\over m^2}

Si definisce il livello di intensità sonora come 10 volte il logaritmo in base 10 del rapporo tra l'intensiità sonora e l'intensità minima percepibile I_0:

L = 10 \log ({I\over I_0}) \space dB

Il dB alla fine è la sua unità di misura, il decibel.

Principio di sovrapposizione delle onde

Il principio di sovrapposizione delle onde ha un nome che lo fa sembare complicato, ma si tratta in realtà di un concetto molto intuitivo.

In parole povere, esso dice che quando più onde si incontrano, dobbiamo sommarle per ottenere la risultante. Il grafico seguente mostra come due impulsi che si incontrano seguano questo principio:

Se vogliamo sommare due onde con stessa ampiezza, lunghezza d'onda e frequenza ma fasi iniziali diverse, otteniamo:

y = A \cos(kx - wt - \phi_1) + A \cos(kx - wt - \phi_2)

Grazie alle formule di postaferesi possiamo unire i due coseni in un unico coseno ottenendo:

y = 2A \cos({kx - wt - \phi_1 + kx - wt - \phi_2\over 2}) \cos({kx - wt -\phi_1 -kx + wt + \phi_2\over 2})

y = 2A \cos({2kx -2wt - \phi_1 -\phi_2 \over 2}) \cos({-\phi_1 + \phi_2 \over 2})

Chiamando \phi_1 - \phi_2 come \Delta \phi :

y = 2A \cos(kx - wt - {\phi_1 + \phi_2 \over 2}) \cos ({-\Delta \phi \over 2})

Siccome \cos(-x) = \cos(x), possiamo riscrivere \cos({-\Delta \phi\over 2}) come \cos({\Delta \phi \over 2}):

y = 2A \cos(kx - wt -{\phi_1 + \phi_2 \over 2}) \cos({\Delta \phi \over 2})

\cos({\Delta \phi \over 2}) è soltanto una costante, possiamo richiamare 2A \cos({\Delta \phi \over 2}) come A' ed ottenere:

y = A'\cos ({kx - wt - {\phi_2 + \phi_2 \over 2}})

Quindi notiamo che otteniamo una nuova onda con stessa lunghezza d'onda e frequenza, con fase iniziale la media delle due fasi iniziali e con un'ampiezza diversa.

Guardiamo però un po' più attentamenete alla nuova ampiezza A'. Abbiamo detto che essa è uguale a 2A \cos({\Delta \phi \over 2}). In valore assoluto, il coseno è sempre compreso tra 0 ed 1, dunque la nuova ampiezza dovrà essere compresa tra 0 e 2A:

0 \leq A' \leq 2A

Interferenze totalmente costruittive e totalmente distruttive

Per il principio di sovrapposizione di due onde

Avremo dunque un'interferenza totalmente costruttiva quando la differenza tra le due distanze è uguale ad un multiplo della lunghezza d'onda:

|\Delta r| = n\lambda

Mentre avremo un'interferenza totalmente distruttiva se la differenza tra le due distanze è uguale ad un multiplo dispari di {\lambda \over 2}:

|\Delta r| = (2n +1) {\lambda \over 2}

Onde stazionarie

Se la lunghezza della corda è un multiplo della metà della lunghezza d'onda, si formerà un'onda stazionaria. In generale dobbiamo quindi avere:

L = n {\lambda \over 2}

Da cui si ottiene:

\lambda = {2L \over n}

Dove n rappresenta anche il numero di nodi.

Siccome la velocità si può calcolare come:

v = \sqrt{T\over \mu}

Essa non dipende dalla lunghezza della corda. Perciò siccome abbiamo anche:

v = f \lambda

ed abbiamo detto che la velocità deve essere costante, possiamo trovare il valore della frequenza necessaria per ottenere un'onda stazionaria:

f = {v\over \lambda}

Sostituendo per \lambda quello che abbiamo trovato prima:

f = {v \over {2L\over n}}

f = n {v\over 2L}

Siccome la frequenza e la lunghezza d'onda dipendono da n, le chiameremo f_n e \lambda_n . Quando n=1 otteniamo la frequenza fondamentale (che sarebbe dunque f_1.)

Battiimenti

Se sommiamo due onde con stessa lunghezza d'onda e fase ma con frequenze diverse, utilizzando le formule di prostaferesi otteniamo:

y = 2A \cos({(w_1 - w_2)t\over 2})\cos ({2kx - (w_1 + w_2) t\over 2})

Per semplificare, studiamo il caso più semplice, ovvero quello in cui x=0:

y= 2A \cos({w_1 - w_2\over 2}t) \cos({w_1 + w_2 \over 2}t)

Siccome w= 2\pi f, otteniamo:

y = 2A \cos(2\pi {f_1 - f_2 \over 2}t) \cos ({2 \pi {f_1 + f_2 \over 2}}t)

Ora, se le frequenze delle due onde sono diverse ma molto simili, {f_1 -f_2 \over 2 } sarà molto piccolo e dunque il primo coseno varierà molto lentamente. {f_1 + f_2 \over 2} è invece, generalmente, un valore normale, dunque varierà molto più velocemente del primo.

Per questo otterremo un'onda del genere:

Il secondo coseno determina l'onda con l'alta frequenza, mentre il primo coseno va a modificare lentamente l'ampiezza.

Effetto Doppler

Nel 1800 uno scienziato di nome Doppler si accorse che la velocità con cui una sorgente sonora si sta muovendo (se non è ferma) influisce sulla frequenza delle onde emesse.

Possiamo comprendere il perché usando la logica. Se la sorgente fosse ferma