Onde

Cos'è un'onda?

Un'onda è una perturbazione che si propaga nello spazio e nel tempo, trasportando energia senza comportare uno spostamento di materia.

Questa definizione può apparire un po' complicata all'inizio, ma alla fine di questo paragrafo dovrebbe esservi chiaro il suo significato.

In questa lezione studieremo soltanto le onde meccaniche, ovvero le onde che hanno bisogno di un mezzo elastico per propagarsi.

Un mezzo elastico è un mezzo che, quando deformato, tende a ripristinare la situazione iniziale.

In realtà tutti i mezzi sono elastici, ma alcuni sono molto più elastici di altri.

Per esempio, il suono e un'onda che si propaga su una corda sono onde meccaniche, mentre la luce, che può viaggiare anche nel vuoto, non è un'onda meccanica.

Ma come nascono le onde meccaniche?

Queste onde hanno origine dentro il mezzo elastico quando una porzione di esso viene perturbato. Per questo si parla di una perturbazione.

Il mezzo nel suo insieme non cammina, l'onda si propaga solo grazie alle varie parti del mezzo che oscillano entro limiti ristretti. Quindi un rumore non sposta l'aria, la fa solo oscillare.

La perturbazione, come detto nella definizione, può essere di qualsiasi grandezza fisica. Per esempio, le onde sonore sono causate da una perturbazione della pressione.

Noi studieremo solo il caso di mezzi di propagazione omogenei e isotropi.

Vediamo cosa significa:

Un mezzo è detto omogeneo se si comporta nello stesso modo in tutti i punti di osservazione al suo interno.

Un mezzo è detto isotropo se le caratteristiche fisiche (per esempio la densità) non dipendono dalla direzione in cui guardi (stando all'interno di esso).

Adesso che abbiamo capito cosa sia un'onda, passiamo alle sue varie classificazioni:

Classificazione

Come abbiamo accennato prima, le onde si dividono in:

• Onde meccaniche, se hanno bisogno di un mezzo elastico.
• Onde elettromagnetiche, se si propagano anche nel vuoto

Inoltre un'onda può essere:

• Trasversale, se le direzione delle vibrazioni è perpendicolare alla direzione della propagazione.

• Longitudinale, se la direzione delle vibrazioni è parallela alla direzione della propagazione

Per esempio, un'onda su una corda è un'onda trasversale, mentre il suono è un'onda longitudinale.

Possiamo inoltre classificare le onde a seconda del numero di dimensioni in cui si propagano:

• Le onde monodimensionali sono onde che si propagano in una sola dimensione. Un esempio di onda monodimensionale è un'onda che si propaga su una corda:

• Le onde bidimensionali sono onde che si propagano in due dimensioni. Un esempio di onda bidimensionale è l'onda che ottenete quando buttate un sassolino nell'acqua:

• Le onde tridimensionali sono onde che si propagano in tutte e tre le dimensioni dello spazio. Un esempio di una tridimensionale è un'onda sonora:

Infine, possiamo distinguere tra:

• Onde a impulso, se le particelle oscillano una volta sola.

• Onde a oscillazione perpetua, se fanno potenzialmente infinite oscillazioni. Esse vengono anche chiamate treni d'onde .

Se le oscillazioni, poi, avvengono in maniera periodica, vengono chiamati treni d'onde periodiche.

Onda dal punto di vista matematico

Studiamo le onde dal punto di vista matematico:

Prendiamo una corda tesa:

Adesso tiriamo su una sua estremità e poi ritiriamola giù. La corda passera dal seguente stato:

Al seguente:

E' come se quella curva si fosse spostata verso destra. Proviamo a riportarla sul piano cartesiano. L'asse $x$ rappresenterà la corda in stato di quiete:

Una funzione di $x$ ci mostrerà la curva che la corda forma:

Quest'onda, però, si propaga nel tempo, dunque dopo un tempo $t'$ la corda sarà rappresentata da quest'altra funzione:

Perciò questa funziona dipende anche dal tempo.

Quindi avremo in generale:

$y = f(x,t)$

Come tenere conto dello spostamento dell'onda che avviene in un intervallo $\Delta t?$ Possiamo notare che l'onda si sposta sempre ad una velocità costante $v,$ chiamata velocità di fase .

Se chiamiamo $\Delta x,$ la distanza percorsa dall'onda, per le leggi del moto rettilineo uniforme dovremo avere:

$\Delta x = v \cdot \Delta t$

Sappiamo che traslare una funzione verso destra per una distanza $\Delta x$ equivale a sottrare questo $\Delta x$ al suo argomento.

Dalla formula di prima sappiamo che, passato un tempo $t,$ lo spostamento $\Delta x$ sarà uguale a $vt.$

Quindi, per tener conto del cambiamento che avviene nel tempo $t,$ ci basterà sottrare $\Delta x,$ cioè $vt,$ all'argomento di $f(x)$ :

$y = f(x-vt)$

E' complicato lavorare con due parametri contemporaneamente, quindi vediamo cosa succede se uno dei due è costante:

Se fisso il tempo $t$ ad un certo valore $t_0,$ quello che sto facendo è fermare il tempo in quel momento ed analizzare la situazione in quell'istante. Sto come facendo una fotografia.

E' quello che avevamo fatto nei grafici precedenti, quando avevamo visto la situazione in due istanti particolari.

Se invece fisso la posizione $x$ ad un valore $x_0,$ sto scegliendo il punto della corda con posizione $x_0$ e sto vedendo come cambia la sua $y$

Otterò un grafico del genere:

Se tiro su e giù la corda abbiamo detto che creo un'onda a impulso. Se continuo a tirare su e giù la corda più volte, creo un treno d'onde:

Notiamo che si tratta di una funzione periodica:

Notiamo che in ogni periodo ci sta sempre un punto più in alto e un punto più in basso:

Il punto più alto viene chiamato cresta, mentre quello più basso viene chiamato ventre.

Definiamo la lunghezza d'onda $\lambda$ come la distanza tra due creste consecutive:

La lunghezza d'onda, dunque, ci dice quanto spazio impiega l'onda per completare un periodo. Più la lunghezza d'onda è piccola e più l'onda apparirà schiacciata:

Definiamo poi l'ampiezza $A$ come l'altezza massima dell'oscillazione:

Siamo ora pronti a studiare la funzione $y = f(x-vt)$ che rappresenta la nostra onda.

Si tratta infatti di una funzione cosinusoidale della seguente forma:

$y = A \cos(k(x -vt))$

Dove $A$ è l'ampiezza, $v$ è la velocità di fase e $k$ è un valore che ora dimostreremo essere uguale a ${2 \pi \over lamba}$

Per farlo, prendiamo due punti sull'onda la cui $y$ è uguale a $0:$

Sappiamo che la funzione si ripete uguale a sé stessa con un periodo lungo quanto la lunghezza d'onda e notiamo che questi due punti distano esattamente mezzo periodo:

Per cui la distanza tra $x_f$ e $x_i$ sarà uguale a ${\lambda\over 2}$

Sappiamo, poi, che a $x_f$ e $x_i$ la $y$ è uguale a $0$

Perciò se la $y$ è uguale a $0$ dobbiamo avere:

Siccome $A$ è diverso da $0,$ dobbiamo avere:

In particolare, siccome sulla nostra onda $x_f$ era lo $0$ subito dopo $x_i,$ abbiamo che il coseno è uguale a $0$

Espandendo e semplificando otteniamo:

Ma avevamo detto prima che $x_f - x_i ={\lambda \over 2},$

Come volevasi dimostrare.

Perciò la funzione che descrive la nostra onda sarà:

Adesso, vediamo cosa succede quando la nostra onda si evolve nel tempo:

Come nel caso nell'onda a impulso, vedremo la nostra onda muoversi a destra a velocità $v:$

Definiamo ora il periodo $T$ come il tempo impiegato dall'onda per percorrere la sua lunghezza d'onda.

Per definizione della velocità, se abbiamo detto che l'onda percorre una distanza $\lambda$ in un tempo $T,$ allora:

Siccome dopo una lunghezza d'onda l'onda si ripete uguale a sé stessa, se spostiamo l'onda di una lunghezza d'onda, tornerà come prima:

Dunque un periodo sarà anche il tempo che impiega una particella per effettuare un'oscillazione completa.

Adesso che abbiamo introdotto il periodo $T,$ espandiamo l'argomento del coseno nella formula di $y:$

Adesso però ricordiamoci che $v={\lambda \over T}$ e sostituiamolo:

Ora definiamo la pulsazione $\omega$ proprio come ${2\pi\over T}$.

La pulsazione, dunque, mi dice quanto velocemente un singolo punto completa un'oscillazione completa.

Inoltre sapevamo già che $k={2\pi\over \lambda},$ quindi possiamo scrivere la forma finale della nostra funzione:

In aggiunta, potremmo anche avere una fase iniziale $\phi$ (lettera minuscola greca che si pronuncia "fi"):

Siccome quello che fa è spostare l'onda verso destra, per prenderla in considerazione ci basta sottrarla all'argomento:

Infine, spesso risulta più comodo lavorare con il reciproco del periodo $T$ rispetto al periodo stesso, per questo gli diamo un nome e lo definiamo come la frequenza $f$. Dunque:

La frequenza si misura dunque in $\text{s}^{-1},$ ovvero in Hertz, il cui simbolo è Hz.

Infine, due onde sono dette in fase se la differenza delle loro fasi è uguale ad un multiplo di se la differenza delle loro fasi è uguale ad un multiplo di $2\pi$ (solitamente $0$ ):

$\Delta \phi = 2\pi n$

Mentre sono dette in controfase se la differenza tra le due fasi è un multiplo dispari di se la differenza tra le due fasi è un multiplo dispari di $pi$ (spesso proprio $pi$ ):

$\Delta \phi = (2n+1)\pi$

Intensità di un'onda

L'intensità di un'onda è l'energia che passa per la sezione trasversale in un unità di tempo. In formule matematiche avremo dunque:

$I = {E \over \Delta t \space S}$

Notiamo poi che Notiamo poi che ${E \over \Delta t},$ ovvero energia fratto tempo, è la definizione della potenza $P.$ Possiamo perciò riscrivere la formula dell'intensità come:

$I = {P\over S}$

Siccome

Per poter costruire una scala di misura comoda, viene scelto una minima intensità sonora percepibile. Essa non è veramente la minima intensità che qualsiasi uomo può percepire, in quanto qualcuno sente meglio di altri e dunque si tratta solo di una convenzione, un valore scelto per poter costruire la scala. Esso vale dunque:

$I_0 = 10^{-12} {W\over m^2}$

Si definisce il livello di intensità sonora come come $10$ volte il logaritmo in base $10$ del rapporo tra l'intensiità sonora e l'intensità minima percepibile $I_0$ :

$L = 10 \log ({I\over I_0}) \space dB$

Il Il $dB$ alla fine è la sua unità di misura, il decibel.

Principio di sovrapposizione delle onde

Il principio di sovrapposizione delle onde ha un nome che lo fa sembare complicato, ma si tratta in realtà di un concetto molto intuitivo.

In parole povere, esso dice che quando più onde si incontrano, dobbiamo sommarle per ottenere la risultante. Il grafico seguente mostra come due impulsi che si incontrano seguano questo principio:

Se vogliamo sommare due onde con stessa ampiezza, lunghezza d'onda e frequenza ma fasi iniziali diverse, otteniamo:

$y = A \cos(kx - wt - \phi_1) + A \cos(kx - wt - \phi_2)$

Grazie alle formule di postaferesi possiamo unire i due coseni in un unico coseno ottenendo:

$y = 2A \cos({kx - wt - \phi_1 + kx - wt - \phi_2\over 2}) \cos({kx - wt -\phi_1 -kx + wt + \phi_2\over 2})$

$y = 2A \cos({2kx -2wt - \phi_1 -\phi_2 \over 2}) \cos({-\phi_1 + \phi_2 \over 2})$

Chiamando Chiamando $\phi_1 - \phi_2$ come $\Delta \phi :$

$y = 2A \cos(kx - wt - {\phi_1 + \phi_2 \over 2}) \cos ({-\Delta \phi \over 2})$

Siccome Siccome $\cos(-x) = \cos(x),$ possiamo riscrivere $\cos({-\Delta \phi\over 2})$ come $\cos({\Delta \phi \over 2}):$

$y = 2A \cos(kx - wt -{\phi_1 + \phi_2 \over 2}) \cos({\Delta \phi \over 2})$

$\cos({\Delta \phi \over 2})$ è soltanto una costante, possiamo richiamare è soltanto una costante, possiamo richiamare $2A \cos({\Delta \phi \over 2})$

$y = A'\cos ({kx - wt - {\phi_2 + \phi_2 \over 2}})$

Quindi notiamo che otteniamo una nuova onda con stessa lunghezza d'onda e frequenza, con fase iniziale la media delle due fasi iniziali e con un'ampiezza diversa.

Guardiamo però un po' più attentamenete alla nuova ampiezza Guardiamo però un po' più attentamenete alla nuova ampiezza $A'.$ Abbiamo detto che essa è uguale a $2A \cos({\Delta \phi \over 2}).$

$0 \leq A' \leq 2A$

Interferenze totalmente costruittive e totalmente distruttive

Per il principio di sovrapposizione di due onde

Avremo dunque un'interferenza totalmente costruttiva quando la differenza tra le due distanze è uguale ad un multiplo della lunghezza d'onda:

$|\Delta r| = n\lambda$

Mentre avremo un'interferenza totalmente distruttiva se la differenza tra le due distanze è uguale ad un multiplo dispari di Mentre avremo un'interferenza totalmente distruttiva se la differenza tra le due distanze è uguale ad un multiplo dispari di ${\lambda \over 2}:$

$|\Delta r| = (2n +1) {\lambda \over 2}$

Onde stazionarie

Se la lunghezza della corda è un multiplo della metà della lunghezza d'onda, si formerà un'onda stazionaria. In generale dobbiamo quindi avere:

$L = n {\lambda \over 2}$

Da cui si ottiene:

$\lambda = {2L \over n}$

Dove Dove $n$ rappresenta anche il numero di nodi.

Siccome la velocità si può calcolare come:

$v = \sqrt{T\over \mu}$

Essa non dipende dalla lunghezza della corda. Perciò siccome abbiamo anche:

$v = f \lambda$

ed abbiamo detto che la velocità deve essere costante, possiamo trovare il valore della frequenza necessaria per ottenere un'onda stazionaria:

$f = {v\over \lambda}$

Sostituendo per Sostituendo per $\lambda$ quello che abbiamo trovato prima:

$f = {v \over {2L\over n}}$

$f = n {v\over 2L}$

Siccome la frequenza e la lunghezza d'onda dipendono da Siccome la frequenza e la lunghezza d'onda dipendono da $n,$ le chiameremo $f_n$ e $\lambda_n .$ Quando $n=1$

Battiimenti

Se sommiamo due onde con stessa lunghezza d'onda e fase ma con frequenze diverse, utilizzando le formule di prostaferesi otteniamo:

$y = 2A \cos({(w_1 - w_2)t\over 2})\cos ({2kx - (w_1 + w_2) t\over 2})$

Per semplificare, studiamo il caso più semplice, ovvero quello in cui Per semplificare, studiamo il caso più semplice, ovvero quello in cui $x=0:$

$y= 2A \cos({w_1 - w_2\over 2}t) \cos({w_1 + w_2 \over 2}t)$

Siccome Siccome $w= 2\pi f,$ otteniamo:

$y = 2A \cos(2\pi {f_1 - f_2 \over 2}t) \cos ({2 \pi {f_1 + f_2 \over 2}}t)$

Ora, se le frequenze delle due onde sono diverse ma molto simili, Ora, se le frequenze delle due onde sono diverse ma molto simili, ${f_1 -f_2 \over 2 }$ sarà molto piccolo e dunque il primo coseno varierà molto lentamente. ${f_1 + f_2 \over 2}$

Per questo otterremo un'onda del genere:

Il secondo coseno determina l'onda con l'alta frequenza, mentre il primo coseno va a modificare lentamente l'ampiezza.

Effetto Doppler

Nel 1800 uno scienziato di nome Doppler si accorse che la velocità con cui una sorgente sonora si sta muovendo (se non è ferma) influisce sulla frequenza delle onde emesse.

Possiamo comprendere il perché usando la logica. Se la sorgente fosse ferma