Equazioni con valore assoluto

Equazioni con modulo (valore assoluto)

Un’equazione con modulo, come dice il suo nome, è un’equazione in cui appaiono uno o più moduli .

Esempi di equazioni con modulo sono i seguenti:

• $\displaystyle { |x+4| = 3 }$

• $\displaystyle { 3-2|x| = 0 }$

• $\displaystyle { |x+4| = |x+3|+x }$

Non sono invece equazioni con modulo le seguenti:

• $\displaystyle { x+4=18x +3 }$ - perché non appare alcun modulo

• $\displaystyle { 3x+|2|=0 }$ - perché, non essendoci alcun incognita dentro il modulo, possiamo ricondurla direttamente ad una semplice equazione senza moduli (in questo caso a $\displaystyle { 3x+2=0 }$ )

Equazioni con un solo modulo

Iniziamo parlando delle equazioni in cui compare un solo modulo. Nella forma più generale esse si presentono nella seguente forma:

$\displaystyle { |A(x)| = B(x) }$

Dove $\displaystyle { A(x) }$ e $\displaystyle { B(x) }$ sono funzioni di $\displaystyle { x }$ .

Modulo e una constante

Iniziamo considerando un caso particolare che risulta più semplice del caso generale: guardiamo cosa succede quando $\displaystyle { B(x) }$ è una costante. Chiamiamo questa costante $\displaystyle { k }$ . Avremo quindi:

$\displaystyle { |A(x)|= k }$

Dobbiamo distinguere due casi: se $\displaystyle { k }$ è negativo o positivo. Il primo caso è il più semplice perché siccome il valore assoluto di qualcosa è sempre positivo , è impossibile che sia uguale a qualcosa di negativo.

Quindi se $\displaystyle { k<0 }$ l’equazione è impossibile.

Se invece $\displaystyle { k }$ è positivo basta mettere un $\displaystyle { \pm }$ davanti a $\displaystyle { k }$ per togliere il modulo. Questo perché siccome $\displaystyle { k }$ non varia a seconda di $\displaystyle { x }$ , per avere l’equazione verificata dobbiamo avere:

$\displaystyle { A(x) = k }$

Oppure:

$\displaystyle { A(x) = -k }$

Che possiamo sintetizzare in:

$\displaystyle { A(x) = \pm k }$

Quindi per risolvere questa tipologie di equazioni con modulo dobbiamo risolvere le due equazioni che abbiamo trovato e prendere tutte le soluzioni .

Facciamo un esempio:

• $\displaystyle { |x+4|=3 }$

Dobbiamo risolvere le due equazioni.

Cominciamo risolvendo la prima:

$\displaystyle { x+4=3 }$

$\displaystyle { x=-1 }$

Passiamo alla seconda:

$\displaystyle { x+4=-3 }$

$\displaystyle { x=-7 }$

Quindi le soluzioni dell’equazione con modulo saranno $\displaystyle { 3 }$ e $\displaystyle { -7 }$ .

Tutto qua, i calcoli potrebbero essere più complicati, ma il procedimento è questo. Se invece abbiamo un’equazione tipo:

$\displaystyle { |x^5+2|=-2 }$

Sappiamo subito che è impossibile , perché qualunque sia l’ argomento del modulo (cioè quello che sta dentro al modulo), la parte a sinistra dell’uguale sarà positiva e non potrà mai e poi mai essere uguale a $\displaystyle { -2 }$ .

Modulo e una variabile

Passiamo al caso generale:

Abbiamo detto che in generale un’equazione con un modulo appare nella seguente forma:

$\displaystyle { |A(x)|=B(x) }$

Quindi vediamo che risolverle quando $\displaystyle { B(x) }$ non è costante.

Per fare ciò dividiamo il problema in due casi, quando $\displaystyle { A(x) }$ è maggiore o uguale a $\displaystyle { 0 }$ e quando $\displaystyle { A(x) }$ è minore di $\displaystyle { 0 }$ . Trovate le soluzioni dei due casi ci basterà unirle per trovare la soluzione dell’equazione con modulo.

Partiamo dal primo caso:

Se $\displaystyle { A(x) }$ è maggiore o uguale a $\displaystyle { 0 }$ abbiamo:

$\displaystyle { |A(x)|=A(x) }$

Quindi sostituendo:

$\displaystyle { A(x) =B(x) }$

Risolvendo otteniamo le soluzioni. Notiamo che non dobbiamo preoccuparci di $\displaystyle { B(x), }$ perché se $\displaystyle { B(x)=A(x) }$ e $\displaystyle { A(x) }$ è positivo anch’esso deve esserlo.

Quindi otteniamo il sistema:

$\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l}A(x) \geq 0\\A(x)=B(x)\end{array} \right. }$

Guardiamo ora invece a quando $\displaystyle { A(x) }$ è negativo. Se $\displaystyle { A(x) < 0, }$ abbiamo:

$\displaystyle { |A(x)|=-A(x) }$

Sostituendo:

$\displaystyle { -A(x)=B(x) }$

Notiamo che anche questa volta non ci sono problemi sul segno di $\displaystyle { B(x) }$ , perché se $\displaystyle { A(x) }$ è negativo, allora $\displaystyle { -A(x) }$ è positivo e quindi l’equazione precedente ci assicura che anche $\displaystyle { B(x) }$ lo sarà.

Quindi otteniamo il sistema:

$\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l}A(x) < 0\\-A(x)=B(x)\end{array} \right. }$

Unendo i due sistemi otteniamo le soluzioni dell’equazione con modulo. Quindi dobbiamo unire le soluzioni dei sistemi, ovvero:

$\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l}A(x) \geq 0\\A(x)=B(x)\end{array} \right. }$ $\displaystyle { \cup }$ $\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l}A(x) < 0\\-A(x)=B(x)\end{array} \right. }$

Con questa formula potrete risolvere qualsiasi equazione con un modulo!

Equazioni con due o più moduli

Vediamo ora come risolvere equazioni dove compaiono $\displaystyle { 2 }$ o più moduli .

Ecco alcuni esempi:

• $\displaystyle { |2x+1|-4x+|x| = 9 }$

• $\displaystyle { |3-2x| - 5x = |3x-1| }$

• $\displaystyle { |x^2-x-3|+4x-|x|=0 }$

Per risolvere questo tipo di equazioni bisogna studiare il segno dell'argomento di ogni modulo singolarmente e poi trovare le possibili soluzioni per i vari casi.

Prendiamo come esempio la prima equazione riportata sopra:

$\displaystyle { |2x+1|-4x+|x| = 9 }$

In questa equazione sono presenti $\displaystyle { 2 }$ moduli, iniziamo studiando il primo modulo:

$\displaystyle { |2x+1| }$

Sappiamo che il modulo sarà sempre positivo, ma ci serve di conoscere il segno dell'argomento per capire se cambierà segno:

$\displaystyle { 2x+1>0 \longrightarrow x>-{1\over 2} }$

Ora sappiamo che per le $\displaystyle { x }$ minori di $\displaystyle { -{1\over 2} }$ l’espressione all’interno del modulo sarà negativa e quindi il modulo cambierà segno all'argomento per renderla positiva.

Se $\displaystyle { x \geq -{1\over 2} }$ :

$\displaystyle { |2x+1| = 2x+1 }$

Se $\displaystyle { x < -{1\over 2} }$ :

$\displaystyle { |2x+1| = -(2x+1) = }$ $\displaystyle { -2x-1 }$

Ci annotiamo i risultati nel seguente grafico dei segni e procediamo nello studio del prossimo modulo.

Il modulo successivo è $\displaystyle { |x| }$ in questo caso sarà facile capire che si annulla per $\displaystyle { x=0 }$ e di conseguenza:

Se $\displaystyle { x \geq 0 }$ :

$\displaystyle { |x| = x }$

Se $\displaystyle { x < 0 }$:

$\displaystyle { |x|=-x }$

Lo scriviamo nel grafico dei segni e procediamo con la risoluzione dell’equazione.

Ora ci basterà leggere il grafico e per ogni situazione scrivere l’equazione corrispondente e fare l’ unione delle soluzioni accettabili di tutte le equazioni.

Se $\displaystyle { x< -{1 \over 2} }$ :

$\displaystyle { -2x-1-4x-x=9 }$

$\displaystyle { x= -{10 \over 7} }$ - ACCETTABILE

Se $\displaystyle { -{1\over 2} \leq x < 0 }$ :

$\displaystyle { 2x+1-4x-x = 9 }$

$\displaystyle { x = -{8 \over 3} }$ - NON accettabile perché non rispetta la condizione $\displaystyle { -{1\over 2} \leq x < 0 }$

Se $\displaystyle { x \geq 0 : }$

$\displaystyle { 2x+1-4x+x = 9 }$

$\displaystyle { x=-8 }$ - NON accettabile perché non rispetta la condizione $\displaystyle { x \geq 0 }$

L'unica vera soluzione dell’equazione sarà quindi $\displaystyle { x= -{10 \over 7} }$

Equazioni con moduli dentro altri moduli

Passiamo ora all’ultimo caso che analizzeremo in questa lezione, ovvero quello di uno o più moduli dentro un modulo.

Vediamo alcuni esempi:

• $\displaystyle { |x-|x^2-3|+2| = 3 }$

• $\displaystyle { ||3x-1|+x-|2x|+5| = |x| }$

• $\displaystyle { 2x-||x-3|-x| = 8 }$

Per risolvere questo tipo di equazione basta applicare i metodi visti in precedenza uno dopo l’altro.

Le soluzioni potrebbero essere molte, soprattutto se sono presenti tanti moduli.

Prendiamo il secondo esempio, dove è necessario usare due dei metodi visti in precedenza:

$\displaystyle { |3x-1|+x-|2x|+5| = |x| }$

La prima cosa da notare è che entrambi i membri dell’equazione sono moduli e quindi, come prima, avremo che il primo membro è uguale a $\displaystyle { \pm }$ il secondo membro.

Quindi otterremo queste $\displaystyle { 2 }$ equazioni:

• $\displaystyle { |3x-1|+x-|2x|+5 = x }$

• $\displaystyle { |3x-1|+x-|2x|+5 = -x }$

Ora risolviamole entrambe separatamente con il metodo già visto e troviamo le soluzioni.

Iniziamo dalla prima:

Studiamo il segno degli argomenti dei moduli:

$\displaystyle { 3x-1>0 }$

$\displaystyle { x>{1\over 3} }$

Per il secondo modulo abbiamo:

$\displaystyle { 2x>0 }$

$\displaystyle { x>0 }$

Tracciamo il grafico dei segni dei moduli:

Abbiamo tre casi, ma prima di studiarli signolarmente semplifichiamo l'equazione generale:

$\displaystyle { |3x -1| + x -|2x| + 5 = x }$ $\displaystyle { \longrightarrow |3x-1| - |2x| + 5 = 0 }$

Il primo è quando $\displaystyle { x < 0, }$ in tal caso l'equazione diventa:

$\displaystyle { -(3x-1)-(-2x)+5 = 0 }$

$\displaystyle { -3x +1 +2x + 5 = 0 }$

$\displaystyle { -x = -6 }$

$\displaystyle { x=6 }$

Però non è vero che $\displaystyle { 6 < 0, }$ quindi la soluzione Non è accettabile .

Passiamo al secondo caso:

Adesso abbiamo $\displaystyle { 0 \leq x < {1\over 3} }$ e l'equazione diventa:

$\displaystyle { -(3x-1) -2x + 5 = 0 }$

$\displaystyle { -3x + 1 -2x +5 =0 }$

$\displaystyle { -5x +6 = 0 }$

$\displaystyle { x = {6\over 5} }$

Ma $\displaystyle { {6\over 5} > {1\over 3}, }$ quindi anche questa soluzione Non è accettabile .

Passiamo al terzo e ultimo caso, cioè quando $\displaystyle { x\geq {1\over 3}: }$

$\displaystyle { 3x -1 -2x +5 =0 }$

$\displaystyle { x = -4 }$

Anche questa soluzione non è accettabile, quindi la prima equazione non ha alcuna soluzione. Passiamo alla seconda:

Riscriviamola come:

$\displaystyle { |3x -1| +x -|2x| +5 = -x }$ $\displaystyle { \longrightarrow |3x-1| +2x - |2x| +5=0 }$

I moduli degli argomenti solo gli stessi di prima, quindi anche il grafico dei segni sarà uguale:

Studiamo quindi i soliti tre casi:

Se $\displaystyle { x< 0 }$ abbiamo:

$\displaystyle { -(3x-1) +2x -(-2x) +5 = 0 }$

$\displaystyle { -3x +1 +2x +2x +5 = 0 }$

$\displaystyle { x= -6 }$

Finalmente abbiamo trovato una soluzione ACCETTABILE !

Passiamo ora al secondo caso:

Se $\displaystyle { 0 \leq x < {1\over 3}, }$ allora:

$\displaystyle { -(3x -1) + 2x -2x + 5 = 0 }$

$\displaystyle { -3x +1 + 5 = 0 }$

$\displaystyle { x = 2 }$

Siccome $\displaystyle { 2 < {1\over 3}, }$ questa soluzione Non è accettabile .

Infine abbiamo l'ultimissimo caso, quello dove $\displaystyle { x \geq {1\over 3}. }$ Così otteniamo:

$\displaystyle { 3x -1 +2x -2x +5 = 0 }$

$\displaystyle { 3x = -4 }$

$\displaystyle { x ={-4\over 3} }$

Questa soluzione ovviamente non è accettabile perché $\displaystyle { {-4\over 3} < {1\over 3}. }$

Quindi l'unica soluzione dell'equazione iniziale è $\displaystyle { -6. }$