Equazioni con valore assoluto

Equazioni con modulo (valore assoluto)

Un’equazione con modulo, come dice il suo nome, è un’equazione in cui appaiono uno o più moduli.

Esempi di equazioni con modulo sono i seguenti:

• |x+4| = 3

• 3-2|x| = 0

• |x+4| = |x+3|+x

Non sono invece equazioni con modulo le seguenti:

• x+4=18x +3  - perché non appare alcun modulo

• 3x+|2|=0 - perché, non essendoci alcun incognita dentro il modulo, possiamo ricondurla direttamente ad una semplice equazione senza moduli (in questo caso a 3x+2=0)

Equazioni con un solo modulo

Iniziamo parlando delle equazioni in cui compare un solo modulo. Nella forma più generale esse si presentono nella seguente forma:

|A(x)| = B(x)

Dove A(x) e B(x) sono funzioni di x.

Modulo e una constante

Iniziamo considerando un caso particolare che risulta più semplice del caso generale: guardiamo cosa succede quando B(x) è una costante. Chiamiamo questa costante k. Avremo quindi:

|A(x)|= k

Dobbiamo distinguere due casi: se k è negativo o positivo. Il primo caso è il più semplice perché siccome il valore assoluto di qualcosa è sempre positivo, è impossibile che sia uguale a qualcosa di negativo.

Quindi se k<0 l’equazione è impossibile.

Se invece k è positivo basta mettere un \pm davanti a k per togliere il modulo. Questo perché siccome k non varia a seconda di x , per avere l’equazione verificata dobbiamo avere:

A(x) = k

Oppure:

A(x) = -k

Che possiamo sintetizzare in:

A(x) = \pm k

Quindi per risolvere questa tipologie di equazioni con modulo dobbiamo risolvere le due equazioni che abbiamo trovato e prendere tutte le soluzioni.

Facciamo un esempio:

• |x+4|=3

Dobbiamo risolvere le due equazioni.

Cominciamo risolvendo la prima:

x+4=3

x=-1

Passiamo alla seconda:

x+4=-3

x=-7

Quindi le soluzioni dell’equazione con modulo saranno 3 e -7.

Tutto qua, i calcoli potrebbero essere più complicati, ma il procedimento è questo. Se invece abbiamo un’equazione tipo:

|x^5+2|=-2

Sappiamo subito che è impossibile, perché qualunque sia l’argomento del modulo (cioè quello che sta dentro al modulo), la parte a sinistra dell’uguale sarà positiva e non potrà mai e poi mai essere uguale a -2.

Modulo e una variabile

Passiamo al caso generale:

Abbiamo detto che in generale un’equazione con un modulo appare nella seguente forma:

|A(x)|=B(x)

Quindi vediamo che risolverle quando B(x) non è costante.

Per fare ciò dividiamo il problema in due casi, quando A(x) è maggiore o uguale a 0 e quando A(x) è minore di 0. Trovate le soluzioni dei due casi ci basterà unirle per trovare la soluzione dell’equazione con modulo.

Partiamo dal primo caso:

Se A(x) è maggiore o uguale a 0 abbiamo:

|A(x)|=A(x)

Quindi sostituendo:

A(x) =B(x)

Risolvendo otteniamo le soluzioni. Notiamo che non dobbiamo preoccuparci di B(x), perché se B(x)=A(x) e A(x) è positivo anch’esso deve esserlo.

Quindi otteniamo il sistema:

\left\{ \begin{array}{l}A(x) \geq 0\\A(x)=B(x)\end{array} \right.

Guardiamo ora invece a quando A(x) è negativo. Se A(x) < 0, abbiamo:

|A(x)|=-A(x)

Sostituendo:

-A(x)=B(x)

Notiamo che anche questa volta non ci sono problemi sul segno di B(x), perché se A(x) è negativo, allora -A(x) è positivo e quindi l’equazione precedente ci assicura che anche B(x) lo sarà.

Quindi otteniamo il sistema:

\left\{ \begin{array}{l}A(x) < 0\\-A(x)=B(x)\end{array} \right.

Unendo i due sistemi otteniamo le soluzioni dell’equazione con modulo. Quindi dobbiamo unire le soluzioni dei sistemi, ovvero:

\left\{ \begin{array}{l}A(x) \geq 0\\A(x)=B(x)\end{array} \right.    \cup   \left\{ \begin{array}{l}A(x) < 0\\-A(x)=B(x)\end{array} \right.

Con questa formula potrete risolvere qualsiasi equazione con un modulo!

Equazioni con due o più moduli

Vediamo ora come risolvere equazioni dove compaiono 2 o più moduli.

Ecco alcuni esempi:

• |2x+1|-4x+|x| = 9

• |3-2x| - 5x = |3x-1|

• |x^2-x-3|+4x-|x|=0

Per risolvere questo tipo di equazioni bisogna studiare il segno dell'argomento di ogni modulo singolarmente e poi trovare le possibili soluzioni per i vari casi.

Prendiamo come esempio la prima equazione riportata sopra:

|2x+1|-4x+|x| = 9

In questa equazione sono presenti 2 moduli, iniziamo studiando il primo modulo:

|2x+1|

Sappiamo che il modulo sarà sempre positivo, ma ci serve di conoscere il segno dell'argomento per capire se cambierà segno:

2x+1>0 \longrightarrow x>-{1\over 2}

Ora sappiamo che per le x minori di -{1\over 2} l’espressione all’interno del modulo sarà negativa e quindi il modulo cambierà segno all'argomento per renderla positiva.

Se x \geq -{1\over 2} :

|2x+1| = 2x+1

Se x < -{1\over 2} :

|2x+1| = -(2x+1) =-2x-1

Ci annotiamo i risultati nel seguente grafico dei segni e procediamo nello studio del prossimo modulo.

Il modulo successivo è |x| in questo caso sarà facile capire che si annulla per x=0 e di conseguenza:

Se x \geq 0 :

|x| = x

Se x < 0:

|x|=-x

Lo scriviamo nel grafico dei segni e procediamo con la risoluzione dell’equazione.

Ora ci basterà leggere il grafico e per ogni situazione scrivere l’equazione corrispondente e fare l’unione delle soluzioni accettabili di tutte le equazioni.

Se x< -{1 \over 2} :

-2x-1-4x-x=9

x= -{10 \over 7} - ACCETTABILE

Se -{1\over 2} \leq x < 0 :

2x+1-4x-x = 9

x = -{8 \over 3} - NON accettabile perché non rispetta la condizione -{1\over 2} \leq x < 0

Se x \geq 0 :

2x+1-4x+x = 9

x=-8 - NON accettabile perché non rispetta la condizione x \geq 0

L'unica vera soluzione dell’equazione sarà quindi x= -{10 \over 7}

Equazioni con moduli dentro altri moduli

Passiamo ora all’ultimo caso che analizzeremo in questa lezione, ovvero quello di uno o più moduli dentro un modulo.

Vediamo alcuni esempi:

• |x-|x^2-3|+2| = 3

• ||3x-1|+x-|2x|+5| = |x|

• 2x-||x-3|-x| = 8

Per risolvere questo tipo di equazione basta applicare i metodi visti in precedenza uno dopo l’altro.

Le soluzioni potrebbero essere molte, soprattutto se sono presenti tanti moduli.

Prendiamo il secondo esempio, dove è necessario usare due dei metodi visti in precedenza:

|3x-1|+x-|2x|+5| = |x|

La prima cosa da notare è che entrambi i membri dell’equazione sono moduli e quindi, come prima, avremo che il primo membro è uguale a \pm il secondo membro.

Quindi otterremo queste 2 equazioni:

• |3x-1|+x-|2x|+5 = x

• |3x-1|+x-|2x|+5 = -x

Ora risolviamole entrambe separatamente con il metodo già visto e troviamo le soluzioni.

Iniziamo dalla prima:

Studiamo il segno degli argomenti dei moduli:

3x-1>0

x>{1\over 3}

Per il secondo modulo abbiamo:

2x>0

x>0

Tracciamo il grafico dei segni dei moduli:

Abbiamo tre casi, ma prima di studiarli signolarmente semplifichiamo l'equazione generale:

|3x -1| + x -|2x| + 5 = x \longrightarrow |3x-1| - |2x| + 5 = 0

Il primo è quando x < 0, in tal caso l'equazione diventa:

-(3x-1)-(-2x)+5 = 0

-3x +1 +2x + 5 = 0

-x = -6

x=6

Però non è vero che 6 < 0, quindi la soluzione Non è accettabile.

Passiamo al secondo caso:

Adesso abbiamo 0 \leq x < {1\over 3} e l'equazione diventa:

-(3x-1) -2x + 5 = 0

-3x + 1 -2x +5 =0

-5x +6 = 0

x = {6\over 5}

Ma {6\over 5} > {1\over 3}, quindi anche questa soluzione Non è accettabile.

Passiamo al terzo e ultimo caso, cioè quando x\geq {1\over 3}:

3x -1 -2x +5 =0

x = -4

Anche questa soluzione non è accettabile, quindi la prima equazione non ha alcuna soluzione. Passiamo alla seconda:

Riscriviamola come:

|3x -1| +x -|2x| +5 = -x\longrightarrow |3x-1| +2x - |2x| +5=0

I moduli degli argomenti solo gli stessi di prima, quindi anche il grafico dei segni sarà uguale:

Studiamo quindi i soliti tre casi:

Se x< 0 abbiamo:

-(3x-1) +2x -(-2x) +5 = 0

-3x +1 +2x +2x +5 = 0

x= -6

Finalmente abbiamo trovato una soluzione ACCETTABILE!

Passiamo ora al secondo caso:

Se 0 \leq x < {1\over 3}, allora:

-(3x -1) + 2x -2x + 5 = 0

-3x +1 + 5 = 0

x = 2

Siccome 2 < {1\over 3}, questa soluzione Non è accettabile.

Infine abbiamo l'ultimissimo caso, quello dove x \geq {1\over 3}. Così otteniamo:

3x -1 +2x -2x +5 = 0

3x = -4

x ={-4\over 3}

Questa soluzione ovviamente non è accettabile perché {-4\over 3} < {1\over 3}.

Quindi l'unica soluzione dell'equazione iniziale è -6.