Equazioni parametriche
Di seguito analizzeremo le equazioni parametriche.
Cosa devo già sapere?
Cos’è un’equazione parametrica?
Un'equazione è detta parametrica se appaiono uno o più parametri. In altre parole, oltre alla nostra incognita appariranno altre lettere. Vediamo qualche esempio:
• x+k=4
• x+ 2a=8
• 17ax - x^2 + a^3 = {1 \over a}
Non sono invece equazioni parametriche le seguenti:
• x^2 = 3x - non appare alcun parametro
• a = a^3 - 3a - non c'è alcun parametro, abbiamo solo cambiato il nome della variabile da x ad a.
Iniziamo subito col chiarire un importante concetto: bisogna saper distinguere quale è l'incognita che stiamo cercando e quali sono i parametri.
Molti commettono l’errore di associare sempre la x all’incognita e altre lettere come a o k sempre come parametri, ma questo non è affatto vero, solitamente si indicano così, ma a seconda delle situazioni potrebbero apparire nomi diversi. Ad esempio l'equazione:
17t - a = 3
Potrebbe avere come incognita t e parametro a, oppure potrebbe essere il contrario. Come capire quindi chi è cosa?
Per rispondere, vediamo prima meglio come si distinguono le incognite dai parametri.
Cos’è un incognita e cos’è un parametro?
L'incognita è la variabile che deve rispettare l'equazione, mentre il parametro è una variabile che può avere qualsiasi valore. Se vuole essere 5, può essere 5, se vuole essere \pi, può essere \pi. L'incognita invece deve sempre avere un valore che verifica l'equazione.
Solitamente vi sarà detto quali sono i parametri e quali le incognite, ed in generale le incognite sono rappresentate con le ultime lettere dell'alfabeto (x,y,z) mentre i parametri con le prime lettere (a,b,c) oppure con k o j, ma non è detto che sia sempre così, potrebbe capitarvi un'equazione con incognita c e parametro y, dunque è bene saper distinguere i due.
Come risolvere un'equazione parametrica?
In un equazione parametrica si deve trovare una relazione diretta tra l'incognita e il parametro, in modo tale che, inserendo un qualsiasi valore di esso, si ottenga il conseguente valore di x.
Inoltre può essere chiesto di trovare per quali valori dei parametri l'equazione è determinata, imposssibile o indeterminata.
Facciamo un esempio:
• 6a + 3x = 17
Isoliamo la x, quindi:
3x = 17 - 6a
x = {17 \over 3} - 2a
Ed ecco fatto, tutto qua. Ora, inserendo al posto di a qualsiasi numero, potremo ottenere il corrispettivo valore di x. Ad esempio se a=5, allora:
x = {17 \over 3} - 2 \cdot 5 = {17 \over 3} -10 = - {13 \over 3}
In questo caso l'equazione è determinata per qualsiasi valore di a (il parametro).
Facciamo un altro esempio con incognita y e parametro t:
{y \over t} + t = 1
Isoliamo la y:
{y \over t} = 1-t
Prima di moltiplicare per entrambi i lati per t, dobbiamo ricordarci che deve essere diversa da 0, perché il denominatore non può essere uguale a 0:
t \neq 0
y= t-t^2
Abbiamo risolto l'equazione. Dobbiamo però guardare al caso in cui t sia uguale a 0.
In tal caso otteniamo:
{y \over 0} = 1
Che è impossibile perché non si può dividere per 0.
Quindi l'equazione parametrica sarà impossibile se t=0, mentre sarà determinata per qualsiasi altro valore di t.
Vediamo un ultimo esempio. Risolviamo l'equazione parametrica:
ax = a
con parametro a.
Qua ci basta dividere entrambi i lati per a, ma per farlo dobbiamo supporre che a sia diverso da 0:
a\neq 0
x = {a\over a}
x=1
Quindi, quando a\neq 0, l'equazione parametrica è determinata. Quando però a=0, otteniamo:
0x=0
Che è sempre verificata, perché qualsiasi numero moltiplicato per 0 da sempre 0, quindi tutti i numeri reali sono una soluzione a quest'equazione. Si dice dunque che, per a=0, l'equazione è indeterminata.
Equazioni parametriche di secondo grado
Ora passeremo ad analizzare come studiare il comportamento di un'equazione di secondo grado al variare di un parametro.
Ecco un esempio:
3kx^2 + 5x + 7k^2 = 0
In questo caso k sarebbe il nostro parametro.
Data un'equazione parametrica di secondo può essere richiesto di discutere per quali valori del parametro l'equazione ha due soluzioni reali, per quali valori abbiamo due soluzioni reali coincidenti, per quali non abbiamo soluzioni nei numeri reali, per quali valori di k abbiamo una certa soluzione, ecc.
Di seguito mostreremo come rispondere a domande simili.
Il delta
Iniziamo dal notare che chiedere se un'equazione ha radici reali non significa altro che verificare se il delta è maggiore o uguale a 0.
Quindi avremo una disequazione da risolvere che coinvolgerà il nostro parametro.
Ecco un esempio:
x^2 - 4kx + 4k^2 + 3k = 0
Notiamo che:
a=1, b=-4k e c= 4k^2 +3k.
Quindi avremo:
\Delta = (-4k)^2 -4 \cdot 1 \cdot (4k^2 +3k) = 16k^2 - 16k^2 -12k = -12k
Notiamo dunque che il discriminante sarà \geq 0 per valori di k \leq 0.
Questa è la nostra soluzione.
Problemi con somma e moltiplicazione delle radici
Ora notiamo che sfruttando le relazioni fra la somma e la moltiplicazione delle radici possiamo facilmente risolvere problemi riguardanti l’analisi dei loro coefficienti.
Forniamo un esempio di seguito per maggiore chiarezza:
Data 3kx^2 + k^2x + 5k = 0 per quali valori di risulta x_1 + x_2= 8 e per quali valori risulta invece x_1 \cdot x_2 = 7.
Per risolvere il primo punto ricordiamo dalla lezione sulle equazioni di secondo grado che:
x_1 + x_2 = {-b \over a}
(se non te lo ricordi, clicca qui). Dato {-b \over a} = {-k^2 \over 3k} abbiamo che la loro somma sarà uguale a {-k \over 3}. Dunque affinché questo sia uguale a 8 dobbiamo avere k = -24.
Per risolvere il secondo invece ricordiamo anche che:
x_1 \cdot x_2 = {c\over a}
Quindi {c \over a} = {5k \over 3k} = {5\over 3}.
Questo è dunque un valore costante che non dipende dal variare di k ed è dunque impossibile che sia uguale a 7.
Domande di questo genere possono poi essere rese più complicate ma in generale sono sempre riportabili ai problemi di prima o a loro combinazioni.
Trovare il parametro avendo una soluzione
Per verificare quali valori del parametro danno una certa soluzione, ci basta inserirla nell'equazione e risolvere per il parametro.
Questo perché per definizione la soluzione, se inserita al posto dell'incognita, lascia vera l’equazione.
Proponiamo di seguito un esempio per rendere più chiaro il concetto:
Data 3nx^2 +2nx + 32 = 0, sapendo che 2 è una delle soluzione dell'equazione trovare n.
Poiché 2 è una soluzione avremo che: 3n\cdot 2^2 + 2n\cdot 2 + 32 = 0, quindi 12n + 4n + 32 = 0 e dunque 16n = -32 ottenendo n = -2.
Nel caso in cui uno o più parametri apparissero elevati alla seconda, allora dopo aver sostituito bisognerebbe semplicemente risolvere l'equazione di secondo grado risultante avente però come incognita il parametro.
1.
Data l'equazione xa + 3x + a³ = 17x + 7 con parametro a ed incognita x, trovare il valore di x quando a è uguale a 2.
x = \frac{1}{12}
Per risolvere l'equazione sostituiamo 2 al posto di a e risolviamo per x:
2x + 3x + 2^3 = 17x + 7
2x + 3x + 8 = 17x + 7
5x + 8 = 17x + 7
5x - 17x = 7 - 8
-12x = -1
x = \frac{1}{12}
2.
Data l'equazione a²x + 13a - 4x = 24 + a con parametro a ed incognita x, risolvere per x.
Se a\neq \pm 2, allora x = \frac{24-12a}{a²-4} se a=2 è indeterminata e se a=-2 è impossibile
Portiamo tutti i termini con x dallo stesso lato dell'equazione:
a²x - 4x = 24 + a -13a
x(a²-4) = 24-12a
Ora, supponendo a²-4 \neq 0, possiamo dividere entrambi i lati per esso ottenendo:
x = \frac{24-12a}{a²-4}
Ora dobbiamo considerare il caso in cui a²-4 = 0. a²-4 è una differenza tra quadrati e può essere riscritto come (a+2) \cdot (a-2).
Avremo quindi: (a+2) \cdot (a-2) = 0
Per ottenere 0 secondo la legge dell'annullamento del prodotto, uno dei fattori deve essere 0. Avremo quindi o:
a+2 = 0, che porta a a = -2
Oppure:
a-2 = 0, che porta a a = 2
Quindi, i valori che creano il problema sono a = 2 e a = -2. Sostituendo questi valori nell'equazione, vediamo cosa succede.
Quando a = 2:
x(a²-4) = 24-12 \cdot 2
x \cdot 0 = 24-24
L'equazione è indeterminata in quanto qualsiasi numero moltiplicato per 0 è uguale a 0.
Quando a = -2:
x(a²-4) = 24-12 \cdot (-2)
x \cdot 0 = 24+24
L'equazione è impossibile poiché non esiste alcun numero moltiplicato per 0 che dia 48.
La soluzione, dunque, sarà:
Se a\neq \pm 2, allora x = \frac{24-12a}{a²-4} se a=2 è indeterminata e se a=-2 è impossibile
3.
Data l’equazione: (x - \frac{b}{2})^2 + 7x = 18b + x - 42 con parametro b, risolvere per x e discutere per quali valori di b l'equazione è determinata, indeterminata o impossibile.
x = \frac{-b^2 +72b + 64}{60 - 4b} e l'equazione è impossibile quando b = 15
Iniziamo espandendo l'equazione e semplificando i termini:
x^2 - bx + \frac{b^2}{4} + 7x = 18b + x^2 - 8x + 16
x^2 - bx + 7x - x^2 + 8x = 18b + 16 - \frac{b^2}{4}
-bx + 15x = 18b + 16 - \frac{b^2}{4}
Raccogliendo la x:
x \cdot (15 - b) = -\frac{b^2}{4} + 18b + 16
Se 15 - b \neq 0, dividiamo entrambi i lati per esso:
x = \frac{-\frac{b^2}{4} + 18b + 16}{15 - b}
Possiamo moltiplicare numeratore e denominatore per 4 per ottenere:
x = \frac{-b^2 +72b + 64}{60 - 4b}
Ora consideriamo il caso escluso 15 - b = 0, ottenendo b = 15.
Sostituendo 15 al posto di b:
x \cdot 0 = -\frac{15^2}{4} + 18 \cdot 15 + 16
L'equazione è impossibile per b = 15 perché non esiste alcun numero che moltiplicato per 0 dia 919\over 4.
x = \frac{-b^2 +72b + 64}{60 - 4b} e l'equazione è impossibile quando b = 15
4.
Data l'equazione x + 3a + 17 = 3 con parametro a, trovare x.
x = -14 - 3a
In questo caso, possiamo isolare x dall'equazione:
x = 3 - 17 - 3a
x = -14 - 3a
5.
Per quali valori del parametro d l'equazione \frac{x}{d} + d = 3 è impossibile?
L'equazione è impossibile quando d = 0
Un'equazione è impossibile quando c'è un denominatore uguale a zero.
Quando d è zero, otteniamo \frac{x}{0} + 0 = 3, ma non è possibile dividere per zero, quindi è impossibile.
L'equazione è impossibile quando d = 0
6.
Data l'equazione ax + x - 3a = 2 risolverla per x e discutere quando l'equazione è determinata, impossibile o indeterminata.
x = \frac{2 + 3a}{a+1} e l'equazione è impossibile quando a = -1 mentre l'equazione è determinata per tutti gli altri valori di a.
Innanzitutto risolviamo l'equazione per x:
Isoliamo la x:
x(a+1) - 3a = 2
x(a+1) = 2 + 3a
Se a + 1 \neq 0, otteniamo x = \frac{2 + 3a}{a+1}.
Ora discutiamo il caso escluso quando a + 1 = 0.
Se a = -1, sostituendo nell'equazione precedente otteniamo x(1-1) = 2 + 3(-1).
Quindi 0 = 2 - 3 che è falso, quindi l'equazione è impossibile se a = -1.
Per tutti gli altri valori di a, l'equazione è determinata perché la nostra formula non ha altre restrizioni.
x = \frac{2 + 3a}{a+1} e l'equazione è impossibile quando a = -1 mentre l'equazione è determinata per tutti gli altri valori di a.
7.
Data l'equazione 3x + 4a = 2x + 2a + 6 + x per quali valori di a l'equazione è indeterminata?
L'equazione è indeterminata quando a = 3
Iniziamo portando tutti i termini con la x dallo stesso lato:
3x - 2x - x = 2a + 6 - 4a
Quindi otteniamo: 0 \cdot x = 6 - 2a
Siccome il coefficiente di x è 0, l'equazione sarà indeterminata se pure la parte destra dell'uguale è 0 (si avrebbe infatti 0 = 0), mentre sarà impossibile negli altri casi.
Quindi per essere indeterminata dobbiamo avere: 6 - 2a = 0
Quindi 2a = 6 e a = 3.
Infatti per a = 3 abbiamo: 0 \cdot x = 6 - 2 \cdot 3
Quindi 0 \cdot x = 0 che è indeterminata perché qualsiasi valore di x risolve l'equazione.
L'equazione è indeterminata quando a = 3
8.
Data l'equazione 3ax + a^2 - a = 2x + 7 con parametro a, risolvere per x.
x = \frac{7 - a^2 + a}{3a - 2} e l'equazione è impossibile quando a = \frac{2}{3}.
Iniziamo portando tutti i termini con la x dallo stesso lato:
3ax - 2x = 7 - a^2 + a
Raccogliamo la x:
x(3a - 2) = 7 - a^2 + a
Supponendo che 3a - 2 \neq 0, possiamo dividere per il coefficiente di x:
x = \frac{7 - a^2 + a}{3a - 2}
Ora guardiamo al caso escluso 3a - 2 = 0 che ci porta a a = \frac{2}{3}.
Sostituendo \frac{2}{3} al posto di a:
x(3a - 2) = 7 - a^2 + a
x(3 \cdot \frac{2}{3} - 2) = 7 - (\frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3}
x \cdot 0 = 7 - \frac{4}{9} + \frac{2}{3}
x \cdot 0 = \frac{63 - 4 + 18}{9}
x \cdot 0 = \frac{77}{9}
L'equazione è dunque impossibile per a = \frac{2}{3} perché non c'è nessun numero che moltiplicato per 0 possa dare \frac{77}{9}.
x = \frac{7 - a^2 + a}{3a - 2} e l'equazione è impossibile quando a = \frac{2}{3}.
9.
Data l'equazione yt + t^2 - 10y + 10 = 7 con parametro t, risolvere per y.
y = \frac{t^2 - 3}{t - 10} e l'equazione è impossibile quando t = 10.
Iniziamo portando tutte le y dallo stesso lato:
yt - 10y = 7 - 10 + t^2
Raccogliamo la y:
y(t - 10) = -3 + t^2
Supponendo che t - 10 \neq 0, possiamo dividere entrambi i lati per esso:
y = \frac{t^2 - 3}{t - 10}
Ora consideriamo il caso in cui t - 10 = 0.
Se t - 10 = 0, allora t = 10.
Quindi sostituendo 10 al posto di t nell'equazione precedente la divisione:
y \cdot (10 - 10) = -3 + 10^2
y \cdot 0 = 97
L'equazione è impossibile perché non c'è alcun numero che moltiplicato per 0 dia 97.
y = \frac{t^2 - 3}{t - 10} e l'equazione è impossibile quando t = 10.
10.
Data l'equazione ut + u = t^2 + t con parametro t, risolvere per u.
u = \frac{t^2 + t}{t+1} e l'equazione è indeterminata quando t = -1.
Per prima cosa raccogliamo u:
u(t+1) = t^2 + t
Supponendo t+1 \neq 0 possiamo dividere entrambi i lati per t+1:
u = \frac{t^2 + t}{t+1}
Notando che t^2 + t = t(t+1) e siccome abbiamo detto che il denominatore non può essere 0, possiamo semplificare:
u = \frac{t(t+1)}{t+1}
u = t
Dobbiamo però guardare a cosa succede se t+1=0. In tal caso avremo t = -1. Sostituendo nell'equazione che precedeva il problema, ovvero la divisione, otteniamo:
u(t+1) = t^2+t
u(-1+1)= (-1)^2 + (-1)
u \cdot 0 = 1 - 1
u \cdot 0 = 0
L'equazione è indeterminata perché qualsiasi valore di u verifica l'equazione.
u = \frac{t^2 + t}{t+1} e l'equazione è indeterminata quando t = -1.