Equazioni biquadratiche

Di seguito analizzeremo le equazioni biquadratiche e trinomie.

Biquadratiche

Trinomie


open imgCosa devo già sapere?

Cos’è un’equazione biquadratica?


Per equazione biquadratica si intente un’equazione formata da un termine di quarto grado, uno di secondo grado e un termine noto.


E' molto importante avere un occhio allenato e saperle riconoscere perché possono essere risolte molto più facilmente di quanto potrebbe sembrare.


Proponiamo di seguito alcuni esempi di equazioni biquadratiche:




Come risolvere una biquadratica?


Per risolvere un’equazione biquadratica è necessario sostituire il termine di secondo grado con una variabile (spesso viene scelta la lettera t) e il termine di quarto grado con la stessa variabile elevata al quadrato.


Esempio:



Imponiamo t=x^2 e avremo di conseguenza anche t^2 = x^4. Sostituendo otteniamo:


t^2-8t+7=0


Facendo questo abbiamo trasformato la nostra biquadratica in un’equazione di secondo grado che ora risolviamo normalmente con la forma ridotta della formula risolutrice delle equazioni di secondo grado:


t_{1;2} = {4 \pm \sqrt{4^2 - 7}\over 1} = 4 \pm \sqrt{9} = 4 \pm 3


Quindi t_1 = 1 e t_2 = 7. Adesso risostituiamo la x per trovare le vere soluzioni:


t_1 = 1 \longrightarrow x^2 = 1 \longrightarrow x_{1;2} = \pm 1


t = 7 \longrightarrow x^2 =7 \longrightarrow x_{3;4} = \pm \sqrt{7}


Abbiamo ottenuto esattamente 4 soluzioni perché l’equazione di partenza era di quarto grado.



Cos’è un’equazione trinomia?


Un’equazione è detta trinomia se è formata da un termine di grado 2n, un termine di grado n e un termine noto.


Le equazioni biquadratiche sono quindi un caso particolare di equazioni trinomie.


Di seguito alcuni esempi:




Come risolvere un’equazione trinomia?


Le equazioni trinomie si risolvono con lo stesso procedimento usato per le biquadratiche, con la sola differenza che in questo caso t non sarà più uguale a x^2 ma sarà uguale a x^n.


Esempio:



Imponiamo t=x^3 e di conseguenza avremo anche t^2 = x^6. Sostituiamo ed otteniamo:


t^2-2t-8=0


Risolvendola otteniamo:


{t_{1;2} = 1 \pm 3}


Adesso non ci resta che ricavare le soluzioni risostituendo la x:


t = -2 \longrightarrow x^3 = -2 \longrightarrow x = -\sqrt[3]{2}


t=4 \longrightarrow x^3 = 4 \longrightarrow x= \sqrt[3]{4}


Questa volta abbiamo ottenuto due soluzioni anche se l’equazione di partenza era di sesto grado perché le altre quattro soluzioni non sono numeri reali e fanno parte dell’insieme dei numeri complessi (qui la lezione sui numeri complessi).