Equazioni biquadratiche e trinomie

Cosa devo già sapere?

Da sapere:

Equazioni di secondo grado

Cos’è un’equazione biquadratica?

Per equazione biquadratica si intente un’equazione formata da un termine di quarto grado, uno di secondo grado e un termine noto.

E' molto importante avere un occhio allenato e saperle riconoscere perché possono essere risolte molto più facilmente di quanto potrebbe sembrare.

Proponiamo di seguito alcuni esempi di equazioni biquadratiche:

• x^4-x^2+1 = 0


• -x^4-4x^2+5 = 0


• x^4+4x^2-7 = 0

Come risolvere una biquadratica?

Per risolvere un’equazione biquadratica è necessario sostituire il termine di secondo grado con una variabile (spesso viene scelta la lettera t) e il termine di quarto grado con la stessa variabile elevata al quadrato.

Esempio:

• x^4-8x^2+7 = 0

Imponiamo t=x^2 e avremo di conseguenza anche t^2 = x^4. Sostituendo otteniamo:

t^2-8t+7=0

Facendo questo abbiamo trasformato la nostra biquadratica in un’equazione di secondo grado che ora risolviamo normalmente con la forma ridotta della formula risolutrice delle equazioni di secondo grado:

t_{1;2} = {4 \pm \sqrt{4^2 - 7}\over 1} = 4 \pm \sqrt{9} = 4 \pm 3

Quindi t_1 = 1 e t_2 = 7. Adesso risostituiamo la x per trovare le vere soluzioni:

t_1 = 1 \longrightarrow x^2 = 1 \longrightarrow x_{1;2} = \pm 1

t = 7 \longrightarrow x^2 =7 \longrightarrow x_{3;4} = \pm \sqrt{7}

Abbiamo ottenuto esattamente 4 soluzioni perché l’equazione di partenza era di quarto grado.

Cos’è un’equazione trinomia?

Un’equazione è detta trinomia se è formata da un termine di grado 2n, un termine di grado n e un termine noto.

Le equazioni biquadratiche sono quindi un caso particolare di equazioni trinomie.

Di seguito alcuni esempi:

• x^6-2x^3-6 = 0


• x^8-x^4+1 = 0


• x^{20}+3x^{10} -1= 0

Come risolvere un’equazione trinomia?

Le equazioni trinomie si risolvono con lo stesso procedimento usato per le biquadratiche, con la sola differenza che in questo caso t non sarà più uguale a x^2 ma sarà uguale a x^n.

Esempio:

• x^6-2x^3-8 = 0

Imponiamo t=x^3 e di conseguenza avremo anche t^2 = x^6. Sostituiamo ed otteniamo:

t^2-2t-8=0

Risolvendola otteniamo:

{t_{1;2} = 1 \pm 3}

Adesso non ci resta che ricavare le soluzioni risostituendo la x:

t = -2 \longrightarrow x^3 = -2 \longrightarrow x = -\sqrt[3]{2}

t=4 \longrightarrow x^3 = 4 \longrightarrow x= \sqrt[3]{4}

Questa volta abbiamo ottenuto due soluzioni anche se l’equazione di partenza era di sesto grado perché le altre quattro soluzioni non sono numeri reali e fanno parte dell’insieme dei numeri complessi (qui la lezione sui numeri complessi).